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El principio del palomar

¿Cuántas personas de la misma edad hay en España con exactamente el mismo número de cabellos?

Johann Peter Dirichlet.
Johann Peter Dirichlet.

El primer acertijo de la semana pasada sobre calcetines y cajones es un ejemplo trivial del denominado “principio del palomar” (sobre el que luego volveremos). Si consideramos que los calcetines son palomas y los colores son palomares, bastarán tres calcetines para que en un palomar (color) haya al menos dos. Si no nos conformamos con que los dos calcetines sean del mismo color, sino que queremos que ambos sean negros, tendremos que sacar ocho calcetines para estar seguros de conseguirlo, puesto que si sacamos siete podrían ser seis marrones y uno negro.

En cuanto al problema de los tres cajones, podemos razonar del siguiente modo: “Puesto que he sacado un calcetín negro, este es el cajón en el que todos son negros o el cajón en el que la mitad son negros y la mitad marrones, y hay la misma probabilidad de que sea uno u otro cajón; en el primer caso, el segundo calcetín será negro seguro, y en el segundo caso tengo un 50% de probabilidades de acertar; por lo tanto, la probabilidad de que el segundo calcetín también sea negro es 3/4”. Podríamos razonar así, pero al hacerlo cometeríamos dos errores, uno pequeño (si en los cajones hay muchos calcetines) y uno grande. ¿Por qué?

En la Luna nuestro Pegaso pesaría seis veces menos; no podría volar como una golondrina, pero lanzándose al galope y abriendo las alas podría elevarse y revolotear un poco.

Si el loro de John Silver se impulsa hacia arriba para alzar el vuelo, como es habitual, la rección sobre el hombro del pirata se trasladará al puente y empeorará la situación. Lo mejor que puede hacer el loro es dejarse caer y empezar a volar cuando esté por debajo del nivel del puente, para que el aire que empuja hacia abajo con las alas no incida en él.

Si la velocidad del pterodáctilo es V y la del viento v, con el viento a favor la resultante será V + v y con el viento en contra V – v, y como el espacio recorrido es el mismo a la ida y a la vuelta, 4 (V + v) = 5(V – v), de donde V = 9v; lo que podemos deducir es que la velocidad del pterodáctilo es 9 veces mayor que la del viento (que, por tanto, es un viento moderado).

El principio del palomar

El principio de Dirichlet

El principio del palomar, denominado también principio de Dirichlet en honor del gran matemático alemán, que lo formuló en el siglo XIX (aunque él lo denominó “principio de las cajas”), dice, simplemente, que si hay más palomas que palomares, en al menos un palomar habrá más de una paloma. Parece una perogrullada, pero esta sencilla herramienta permite abordar eficazmente numerosos problemas matemáticos e informáticos. Y también algunos acertijos lógicos, como ese clásico que podríamos denominar “la estadística del misántropo”:

Si el 70% de los hombres son feos, el 70% son tontos y el 70% son malos, ¿cuál es el mínimo porcentaje de hombres que son a la vez feos, tontos y malos?

O estos dos:

¿Cuántas personas hay, como mínimo, en España que tienen la misma edad y el mismo número de cabellos en la cabeza?

Demuestra que en tu círculo de amistades, e independientemente de que sea más o menos endogámico, hay al menos dos personas que se han acostado con el mismo número de miembros del grupo.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.

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