‘Ceteris paribus’

En un cuadrado cuyo lado tomamos como unidad, la longitud del árbol formado por tres de los lados será 3, mientras que la del árbol formado por las dos diagonales medirá 2√2 = 2,82…, un ahorro considerable. Pero la configuración que vimos la semana pasada, con dos puntos de Steiner que forman ángulos de 120º al unirlos entre sí y con los vértices del cuadrado, supone un ahorro aún mayor, pues mide 1 + √3 = 2,73…

En cuanto a los acertijos de Angela Foxx Dunn, el primero era muy sencillo, pero los otros dos no tanto:

El del puzle de 100 piezas se ve más claro “rebobinando”: imaginemos que tenemos el puzle ya compuesto y queremos descomponerlo en todas sus piezas: con cada fractura aumentará en una el número de piezas, tanto si separamos una pieza suelta como un grupo de ellas; por lo tanto, siempre necesitaremos 99 movimientos para descomponer el puzle en sus 100 piezas iniciales. Lo que significa, pasando la película al revés, que siempre necesitaremos 99 movimientos para montarlo.

El menor número de calcetines que puede haber en el cajón para que al sacar dos al azar ambos sean marrones, es 15 marrones y 6 negros. Al sacar el primer calcetín, la probabilidad de que sea marrón es 15/21, y al sacar el segundo, la probabilidad de que también sea marrón es 14/20; y 15/21 x 14/20 = 1/2. Claro que, si nos conformamos con que ambos calcetines sean del mismo color, la probabilidad de éxito aumenta. ¿En qué medida?

En el problema del producto máximo, la clave está en que no puede haber factores mayores de 4, ya que cualquier n mayor que 4 se puede descomponer en los sumandos n-2 y 2, cuyo producto, 2n – 4, es mayor que su suma, n, para n > 4. Por lo tanto, los factores solo pueden ser treses y cuatros, o, para simplificar, treses y doses (puesto que 4 =2 + 2 = 2 x 2). Por otra parte, siempre convendrá sustituir tres doses por dos treses, ya que, a igual suma (2 + 2 +2 = 3 + 3), 2 x 2 x 2 = 8 y 3 x 3 = 9, por lo que habrá que minimizar el número de doses y reducirlos a dos, lo que nos deja 32 treses y 2 doses (32 x 3 + 2 x 2 = 100), con lo que el producto máximo buscado será 3³² x 2², un número de dieciséis cifras.

Cuando todo lo demás sigue igual

En las últimas semanas, al estudiar los grafos arbóreos, hemos adoptado alguna vez la estrategia de ver qué pasaba si quitábamos o añadíamos una sola arista, dejando igual el resto del árbol; sin decirlo expresamente, estábamos aplicando el método ceteris paribus, locución latina que significa “lo demás (sigue) igual”.

Es un método ampliamente utilizado en las ciencias experimentales, y también en economía, y coloquialmente apelamos a él tácitamente cada vez que hacemos una afirmación del tipo: “Si mañana no llueve, iremos a la playa”, en la que se da por supuesto que las demás condiciones (ganas, salud, movilidad…) seguirán cumpliéndose. Podemos preguntarnos, por ejemplo, si podría volar un caballo como el mítico Pegaso si le añadiéramos alas sin modificar el resto de su anatomía.

Animo a mis sagaces lectoras/es a buscar y comentar ejemplos de problemas que se pueden abordar con este método.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.