Día de la mujer calculadora

La secuencia del número de árboles distintos que se pueden formar con n nodos es: 1, 1, 1, 2, 3, 6, 11, 23, 47, 106, 235, 551… (El primer 1 corresponde al grafo elemental de un solo nodo).

Nos preguntábamos la semana pasada si hay una fórmula sencilla que dé el número de árboles distintos en función del número de nodos. La respuesta es no. La secuencia empieza pareciéndose a la de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…), y es tentador relacionarlas, ya que esta aparece a menudo en los árboles de la naturaleza; pero el crecimiento de la “secuencia arbórea” es cada vez más rápido con respecto a la de Fibonacci.

Como vimos, en el caso de tres puntos que son vértices de un triángulo equilátero, el árbol de Steiner se obtiene tomando como “punto de Steiner” el centro del triángulo. ¿Y si el triángulo no es equilátero? En ese caso, hay que buscar el punto cuya suma de distancias a los tres vértices es mínima. Es el punto de Fermat o punto de Torricelli del triángulo, denominado así porque el primero le planteó el problema al segundo y este lo resolvió.

En un triángulo que no tenga un ángulo mayor de 120º, el punto de Fermat, que coincide con el punto de Sreiner de los nodos situados en los vértices, se halla construyendo sendos triángulos equiláteros en dos cualesquiera de los lados y uniendo sus vértices exteriores con los vértices opuestos del triángulo en cuestión, como indica la figura.

 En el caso de un cuadrado, el árbol de longitud mínima se obtiene con la configuración de la figura, en la que los tres ángulos que confluyen en cada uno de los dos puntos de Steiner son de 120º. Si tomamos como unidad el lado del cuadrado, ¿cuál es la longitud de este árbol mínimo? ¿Qué ahorro supone con respecto al árbol más evidente, formado por tres lados del cuadrado? ¿Y con respecto al árbol formado por las dos diagonales del cuadrado?

 Y un más difícil todavía: ¿cómo es el árbol de Steiner de los vértices de un pentágono regular?

Esta entrega de El juego de la ciencia se publica el 8 de marzo, Día Internacional de la Mujer, y como modesta contribución a su celebración propongo tres acertijos lógicos de una de las pocas mujeres que, en la estela de Ada Lovelace, se han dedicado a estudiar y refinar formas de cálculo. Me refiero a Angela Foxx Dunn, de la que ya he hablado en alguna ocasión, y que en los años sesenta del siglo pasado realizó, para un par de revistas técnicas, una excelente sección semanal de acertijos matemáticos, casi siempre relacionados con el cálculo, titulada Problematical Recreations, y también publicó varios libros sobre el tema (hay al menos uno en castellano, aunque difícil de encontrar: El abuelo listo, RBA, 2008). He aquí tres de sus acertijos:

En un puzle de 100 piezas, ¿cuántos movimientos son necesarios para completarlo? Un movimiento consiste en ensamblar dos conjuntos de piezas (incluyendo conjuntos de una sola pieza).

Un cajón contiene un número impar de calcetines marrones y un número par de calcetines negros. ¿Cuál es el menor número de calcetines marrones y negros que ha de contener el cajón para que al sacar dos calcetines al azar la probabilidad de que ambos sean marrones sea 1/2?

¿Cuál es el mayor resultado que se puede obtener como producto de números naturales (enteros y positivos) cuya suma es 100?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.