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Espacio para cuatro, pero no para cinco

Resolvemos el 32º desafío matemático de EL PAÍS con el que celebramos el centenario de la Real Sociedad Matemática Española.- El ganador es José Luis de Miguel, de Madrid

Consulta todos los desafíos matemáticos anteriores | Dudas, sugerencias, quejas y soluciones, en el correo problemamatematicas@gmail.com | Este jueves plantearemos un nuevo reto

Ya hay solución para el trigésimo segundo desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española (ver el vídeo conmemorativo).

Sofía Nieto, estudiante de doctorado en Matemáticas en la Universidad Autónoma de Madrid, propuso el problema -con guión de Eva Elduque Laburta, profesora del Taller de Talento Matemático de Aragón- y lo resuelve ahora (vídeo de la derecha).

Para este desafío se han recibido en el plazo marcado 245 respuestas, de las que hemos considerado que un 25% presentaban un argumento correcto y completo. El ganador de una biblioteca matemática como la que entrega cada semana EL PAÍS ha sido en esta ocasión José Luis de Miguel, de Madrid.

Recordemos que el desafío consistía en demostrar que si en una caja con forma de prisma recto de altura 40 cm y base un triángulo equilátero de lado 60 cm se introducen 5 partículas (que hay que pensar que son como puntos y se mueven al azar), siempre habrá dos de ellas que disten entre sí estrictamente menos de 50 cm.

La solución que proponemos tiene dos pasos. Empezamos por tomar el triángulo equilátero y, uniendo los puntos medios de sus lados, formamos 4 triangulitos equiláteros, lo que nos dan otros tantos prismas triangulares. Dividimos por tanto el prisma en 4 prismas idénticos más pequeños.

Cada uno de esos prismas pequeños tiene 30 cm de lado y 40 cm de altura. La mayor distancia que se puede alcanzar dentro de ese prisma es la diagonal de cualquiera de sus caras rectangulares que, por el teorema de Pitágoras, mide 50 cm. Como tenemos 5 partículas, al menos dos deben estar en el momento en que observamos en un mismo prisma pequeñito, y por tanto a distancia menor o igual que 50 cm.

Esto es un ejemplo del principio del palomar, pero para resolver el desafío completo, que pedía demostrar que hay dos partículas a distancia estrictamente menor que 50 cm, tenemos que trabajar un poco más apoyándonos en que los primas pequeños comparten algunas caras.

El siguiente paso consiste en ver qué pasa si en la caja con dos partículas éstas están a distancia exactamente 50 cm, es decir, ocupan los dos vértices de una diagonal. Vamos a tratar dos casos.

Primer caso: las dos partículas ocupan vértices de una cara del prisma interior. Entonces vemos que, si no hay partículas a menos de 50 cm, no puede haber más partículas en ninguno de los dos prismas que comparten esa cara, y que en realidad sólo hay lugar para dos partículas más (ver dibujo aquí).

Segundo caso: las dos partículas ocupan vértices de un prisma de los que tocan un vértice de la caja original (es decir, exterior). Si hubiese alguna partícula más en una cara interior, estaríamos en el caso anterior. Por tanto las otras partículas tienen que estar en vértices de la caja original y, de nuevo, sólo hay lugar para 4 partículas en total (ver dibujo aquí).

La mayoría de los lectores que han resuelto correctamente el desafío han seguido este camino, desarrollando de distintas maneras el paso que muestra que la distancia es estrictamente menor que 50 cm. Una manera especialmente limpia de presentarlo es asignar todas las caras interiores sólo al prisma pequeño que queda en el centro. Así lo ha hecho, entre otros, Alfonso Pérez Arnal, que además ha preparado un vídeo explicativo que puedes ver en este enlace.

Pero los lectores también han encontrado otras maneras de resolver el desafío. María Guío Carrión, José María García Roldán y algunos más (entre ellos el ganador de sorteo) han transformado el problema tridimensional en un problema plano. Lo hacen proyectando las partículas sobre la base triangular y observando que, si no hubiese partículas a menos de 50 cm, estas proyecciones serían las 5 distintas y distarían entre sí al menos 30 cm. Obtienen así un problema similar al original, pero más sencillo al ser bidimensional.

También lo ha reducido a dimensión dos Javier Rodríguez, pero en su caso lo que ha considerado son esferas de radio 25 alrededor de cada una de las partículas y su corte con el plano paralelo a la base del prisma y a altura 20 cm. Moviendo arriba y abajo las esferas, pero sin que sus centros se salgan de la caja, observa que estas intersecciones son círculos de radio al menos 15 cm, y comprueba (¡de nuevo en dimensión 2 es más sencillo!) que al menos dos de esos círculos tienen que cortarse en algo más que sus bordes.

Esta idea del empaquetamiento ha sido seguida, de manera más o menos explícita, por la mayoría de las respuestas que no hemos considerado correctas. Casi todas tienen buenas ideas y apuntan en la buena dirección, pero en algún momento hacen afirmaciones que no están totalmente justificadas. Veamos por qué.

Una línea de pensamiento ha pasado por intentar agrupar las partículas de la manera más densa posible. Se propone así ponerlas en los 5 vértices de la figura formada por dos tetraedros unidos por una cara y se dice, y es cierto, que esa figura (otros proponen una pirámide de base cuadrada) no cabe en nuestra caja. Pero la distribución no tiene por qué ser esa: si nuestra caja fuese una pirámide con base cuadrada de lado 71 cm y altura 1 cm tampoco cabría en ella el tetraedro doble, y sin embargo podríamos poner las 5 partículas en los 5 vértices de la caja y distarían más de 50 cm entre sí. La dificultad estriba en que se trata de conseguir un empaquetamiento denso en un espacio acotado, y eso es una restricción importante.

Otros lectores han optado por alejar las partículas lo más posible, y han empezado por poner 3 partículas en 3 vértices de la caja (unos en los 3 vértices de una misma cara y otros 2 en una cara y 1 en el vértice opuesto de la otra cara) y comprobar luego que no caben las otras dos partículas. Pero esta estrategia no es válida en general, y por tanto no se puede usar sin más explicación.Para verlo, pensemos en una caja como la del desafío pero donde los triángulos equiláteros miden 73,28 cm de lado (la altura sigue siendo 40 cm). Si colocamos 3 partículas en 3 vértices (por ejemplo los llamados A, b y c en este diagrama) no queda hueco para otras 2 partículas sin que al menos dos de entre las 5 disten entre sí menos de 50 cm. No obstante, sí es posible colocar 5 partículas sin que ninguna distancia sea inferior a 50 cm, pero para ello hay que situarlas tal como están en el diagrama: una en el vértice superior A; otra en m, a 60 cm de A; la tercera en k, a 30 cm de a; y las otras dos en b' y c', a 6,154 cm del plano inferior. Este ejemplo nos lo ha proporcionado amablemente uno de nuestros lectores, Antonio Noriega de la Sierra.

No obstante, era posible (y correcto) ir colocando las 5 partículas y argumentar con rigor que se han agotado todas las posibilidades. Así lo ha hecho, por ejemplo, Francisco Pi Martínez desde México, pero requiere bastante más esfuerzo que las soluciones que hemos presentado anteriormente.

El jueves plantearemos un nuevo reto.

Fe de errores

El ejemplo que dimos originalmente para mostrar que el razonamiento que empezaba por poner 3 partículas en 3 vértices era insuficiente no era válido, ya que el prisma que proponíamos era demasiado grande. Nos lo hizo notar Antonio Noriega de la Sierra, quien, además, nos proporcionó un ejemplo que sí ilustra correctamente lo que queríamos explicar y que ya aparece recogido en el texto.