La elipse de Steiner

Como vimos la semana pasada, el “problema de las colegialas” admite 7 soluciones no isomorfas (es decir, con distinta estructura), enumeradas en 1922 por el matemático estadounidense Frank Nelson Cole (1861-1926), que se hizo famoso a principios del siglo XX por hallar los factores del 67º número de Mersenne (2⁶⁷– 1). Édouard Lucas había demostrado que M₆₇ no era primo, pero no había podido descomponerlo en factores. Y Cole realizó la proeza de hallar esos factores cuando papel y lápiz eran la única calculadora disponible (dedicándole al problema, según confesó, todos los domingos durante tres años):

M⁶⁷ = 147.573.952.589.676.412.927 = 193.707.721 × 761.838.257.287

Y también calculó Cole (una bagatela comparado con el cálculo anterior) el número total de soluciones -incluidas las isomorfas- del problema de las colegialas:

15! x 13/42 = 404.756.352.000 (¿cómo se obtiene este número?).

Circunelipse e inelipse

Además de sus importantes contribuciones a la teoría de diseños combinatorios, como vimos la semana pasada, el matemático suizo Jakob Steiner (de cuyos “árboles mínimos” -los bonsái de los grafos- nos ocupamos hace cinco años) fue uno de los más grandes geómetras de todos los tiempos; el más grande después de Apolonio de Perga, según algunos. Detestaba la geometría analítica, que según él contaminaba la geometría “pura”, y sus trabajos se basan exclusivamente en los métodos de la geometría sintética y proyectiva, a cuyo desarrollo contribuyó notablemente.

La referencia a Apolonio al hablar de Steiner es especialmente pertinente, pues, al igual que el Gran Geómetra, hizo importantes aportaciones al estudio de las cónicas. En este campo, Steiner es conocido sobre todo por sus elipses circunscrita e inscrita en un triángulo.

La circunelipse de Steiner es la única elipse que pasa por los tres vértices de un triángulo y cuyo centro es el baricentro o centroide del mismo (recordemos que el centroide de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas, que coincide con su centro de gravedad si lo consideramos un objeto físico).

Puede que alguien piense que una circunferencia también es una elipse y que, por tanto, la circunferencia circunscrita a un triángulo también sería una circunelipse de Steiner. Pero no es así, pues el centro de la circunferencia circunscrita (circuncentro) es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo, no de sus medianas (la razón es evidente: todos los puntos de la mediatriz de cada lado equidistan de los dos vértices correspondientes a ese lado, por lo que el punto de intersección de las mediatrices equidista de los tres vértices).

Entre otras propiedades, la circunelipse de Steiner es, de todas las elipses circunscritas a un triángulo, la de menor área (¿puedes calcularla en función del área del triángulo?).

Cuando se habla de la elipse de Steiner sin especificar nada más, se está aludiendo a su circunelipse, que no hay que confundir con la inelipse. La inelipse de Steiner es la elipse inscrita en un triángulo que es tangente a los puntos medios de sus lados (y está justificado decir “la” porque es única). La superficie de la inelipse de Steiner es la cuarta parte de la de la circunelipse de Steiner (¿puedes demostrarlo?).

Sugiero a mis sagaces lectoras/es que empiecen por analizar el caso particular y mucho más sencillo de la circunelipse y la inelipse de un triángulo equilátero.

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