El apéndice del ‘Discurso del método’ que revolucionó las matemáticas

En junio de 1637 se publicó en francés y, de forma anónima, el Discurso del método, cuyo autor era el filósofo y matemático René Descartes. Es una obra trascendental de la filosofía con también una enorme influencia en las matemáticas, debido a uno de los apéndices del libro, titulado La geometría. En él, Descartes propone un sistema que permite usar el álgebra para resolver problemas de geometría, creando una poderosa herramienta —la geometría analítica— que unió dos áreas de las matemáticas hasta ese momento separadas.

René Descartes nació en Francia en 1596 y desde su juventud tuvo una sólida formación en humanidades. Fue un apasionado de la cultura griega y, en concreto, de las grandes obras clásicas de las matemáticas como Los elementos de Euclides, La aritmética de Diofanto, Las cónicas de Apolonio o La colección matemática de Pappus. También estaba al tanto de los nuevos desarrollos de la matemática italiana llevados a cabo por Niccolò Fontana (Tartaglia), Gerolamo Cardano o Franciscus Vieta.

Partiendo de todo este conocimiento, Descartes desarrolló —a la vez que Pierre de Fermat, aunque el papel de este último quedó injustamente borrado de esta historia— la geometría analítica. Esta nos permite describir conceptos geométricos mediante ecuaciones algebraicas. Así, un círculo situado en el centro del plano y con radio uno, se representa por una ecuación x² + y² = 1. Es decir, viene descrito por los puntos de coordenadas (x, y) que cumplen la ecuación anterior.

De hecho, la noción de coordenadas fue introducida rigurosamente en La geometría, con la definición de unos ejes coordenados, que podían ser oblicuos. Cuenta la leyenda que Descartes —que acostumbraba a estar mucho tiempo tumbado en su cama por motivos de salud—, ideó este concepto al preguntarse cómo podría describir la posición de una mosca que se posaba en su techo. Decidió que las esquinas del techo podrían servir como referencia para indicar de forma precisa el lugar en el que estaba el insecto, solo con unos números —su distancia, medida perpendicularmente, a una esquina vertical y a otra horizontal—.

Descartes, acostumbrado a estar mucho tiempo tumbado en su cama por motivos de salud, ideó el concepto de ejes coordenados al preguntarse cómo describir la posición de una mosca en su techo

Con esta nueva visión analítica, la geometría clásica dejó de ser una matemática trazada en papel en la que se razonaba en términos de figuras y construcciones con regla y compás, como había sido hasta el momento, para entenderse de manera mucho más abstracta, usando todo el potencial del álgebra. Así lo recalca Descartes en el apéndice: “Todos los problemas de geometría pueden reducirse fácilmente a términos tales, que no es necesario conocer de antemano más que las longitudes de algunos segmentos para su construcción”.

De este modo, la geometría analítica permite explorar las propiedades de un objeto geométrico realizando cálculos algebraicos directamente en la ecuación que lo describe. Esto permitió utilizar toda la potencia del álgebra para tratar conceptos hasta ese momento muy escurridizos, que solo se estudiaban con los métodos de la geometría clásica de la antigua Grecia. También, Descartes pudo afirmar que todas las ecuaciones cuadráticas —es decir, las ecuaciones polinómicas de grado dos, como x² + y² = 1— corresponden a las cónicas introducidas por Apolonio.

Por otro lado, con esta nueva herramienta fue posible obtener nuevos objetos geométricos, desconocidos hasta ese momento, simplemente modificando una ecuación dada o empleando diferentes operaciones algebraicas. Así, se podían clasificar las curvas en “geométricas”, si es posible escribirlas como un polinomio de dos variables igual a cero, o “mecánicas” —“trascendentes” según Gottfried Leibniz—, en caso contrario. Descartes no dio especial importancia a esta distinción, aunque esto abrió nuevas tierras inexploradas en las matemáticas años más tarde.

En este texto, el matemático incorporó por primera vez notaciones que nos resultan conocidas, como las últimas letras del alfabeto x, y, z para denotar las incógnitas o las primeras letras a, b, c para las constantes. La geometría es, seguramente, el primer texto que se puede leer sin dificultades por un estudiante actual y ello es debido a que hemos adoptado casi en su totalidad la notación empleada en ella. Además, desvinculaba las potencias de un número de su significado geométrico, por ejemplo, una potencia al cuadrado se desvinculaba con la noción de área, o al cubo de la noción de volumen, como se había hecho hasta el momento.

La contribución a las matemáticas de Descartes es imperecedera. Como señaló el gran matemático Jean le Rond D’Alembert: “Lo que ha inmortalizado el nombre de este gran hombre es la aplicación que ha sabido hacer del álgebra a la geometría, una idea de las más vastas y felices que haya tenido el espíritu humano, y que será siempre la llave de los más profundos descubrimientos no solamente en la geometría, sino en todas las ciencias físico-matemáticas”.

Efectivamente, este nuevo punto de vista propuesto por Descartes fue crucial para una de las más grandes revoluciones científicas que se iba a desarrollar años después: el desarrollo del cálculo infinitesimal por Isaac Newton y Gottfried Leibniz a finales del siglo XVII. El cálculo infinitesimal permitió describir la naturaleza en términos matemáticos, dando paso a los innumerables desarrollos científicos y tecnológicos que vinieron en los años posteriores.

David Martín de Diego es investigador del Consejo Superior de Investigaciones Científicas en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)

Ágata Timón García-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del ICMAT

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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