Diseños combinatorios

La segunda estrofa de una sextina, como vimos la semana pasada, reordena las terminaciones de los seis versos pasando de ABCDEF a FAEBDC. Si aplicamos el mismo criterio para pasar de la segunda a la tercera, de la tercera a la cuarta y así sucesivamente, obtenemos la secuencia:

ABCDEF, FAEBDC, CFDABE, ECBFAD, DEACFB, BDFECA.

Y si cambiamos por números las tradicionales letras mayúsculas que en la notación poética indican las terminaciones de los versos de arte mayor y disponemos en vertical las secuencias correspondientes a las sucesivas estrofas, obtenemos el siguiente esquema:

1 6 3 5 4 2

2 1 6 3 5 4

3 5 4 2 1 6

4 2 1 6 3 5

5 4 2 1 6 3

6 3 5 4 2 1

No hay cifras repetidas en ninguna fila ni columna, por lo que el esquema de la sextina es como un sudoku reducido, con los números del 1 al 6 en lugar de del 1 al 9. Aunque, para los matemáticos, antes que un sudoku es un cuadrado latino. Y esta vez la poesía podría haberse adelantado a la matemática, pues las primeras sextinas fueron compuestas en el siglo XII por el trovador occitano Arnaut Daniel, mientras que los primeros cuadrados latinos (denominados así por Euler mucho después) de los que hay noticia son los wafq majazi de un manuscrito árabe del siglo XIII.

Teoría del diseño combinatorio

En cuanto al problema que había quedado pendiente (averiguar de cuántas formas pueden agruparse siete elementos en siete grupos de tres elementos, si han de aparecer en el mismo número de grupos y dos a dos solo en un grupo), he aquí la solución aportada por Ignacio Alonso:

“Cada elemento estará en tres tríos. Para, p. ej., el 7, el trío asociado que contiene el 6 lo será con los dúos 65, 64… 61 (5 posibles). Si el primero es 765, el segundo asociado que contiene el 4 podría ser 743, 742 o 741 (3 posibilidades) y ya el tercero asociado a 765 y 743 solo puede ser 72. Total, 5 × 3 = 15 grupos de tres tríos posibles que contienen el 7. Los cuatro tríos sin el 7 restantes, asociados a un grupo de estos 15, sea el 765, 743, 721, contienen dos veces los 65, 64… 61. Con el 6 los posibles son 642, 631 o 641, 632 (2 posibilidades), para cada una de estas dos, p.ej. 642, 631, solo una única asociada, 541, 532, para completar este grupo de cuatro tríos, luego 15 × 2 = 30 serán los grupos de 7 tríos posibles”.

Como vimos, este problema se podría considerar una versión simplificada del clásico “problema de las colegialas” de Kirkman, del que solo hay siete soluciones no isomorfas (es decir, de estructuras no equivalentes). Pero si incluimos las soluciones isomórficas, el número aumenta considerablemente (¿puedes calcularlo?).

Estos problemas -y también los cuadrados latinos- tienen que ver con la denominada “teoría del diseño combinatorio”, desarrollada a partir de las aportaciones pioneras de Leonard Euler, Thomas Kirkman, Jacob Steiner, Édouard Lucas y otros grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX; teoría que, por cierto, debe no poco a la matemática recreativa. Pero ese es otro artículo.

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