El teorema de Pappus

Empecemos por el último problema de la semana pasada, atribuido al mismísimo Isaac Newton: ¿Se pueden plantar 9 árboles de manera que formen 10 filas rectas de 3 árboles por fila? Se puede, como se ve en la elegante solución de la figura adjunta. Solución que, casualmente (es un decir: en matemáticas no existen las casualidades), ilustra el teorema de Pappus, que demuestra que si en un par de rectas se escogen tres puntos al azar en cada una y se unen dos a dos mediante segmentos rectilíneos, cada punto de una recta con cada uno de los puntos de la otra, las intersecciones de los segmentos que los unen estarán en línea recta.

Como muestra la figura, hemos tomado 3 puntos en la recta superior y 3 en la inferior, y al unir dos a dos los de ambas rectas obtenemos los 3 puntos centrales, que también están alineados. Por cierto, las rectas no tienen por qué ser paralelas ni los puntos estar espaciados regularmente, como en este caso, para que los puntos de intersección estén alineados.

Pappus (o Papo) de Alejandría (c. 290-c. 350) fue el más grande matemático de su tiempo, y además de por su famoso teorema es conocido por sus trabajos sobre los sólidos platónicos inscritos en una esfera y por constructos geométricos como la cadena de Pappus, un anillo de círculos de tamaño decreciente entre dos círculos tangentes.

En cuanto al problema de la cuadrícula de palillos de Sam Loyd, Rafael Granero, que halló una solución retirando 10 palillos, la ha mejorado, como se ve en la figura que ha enviado, retirando solo 9.

No se pueden destruir todos los cuadrados quitando menos de 9 palillos, y me atrevería a decir (pero no estoy seguro) que, prescindiendo de giros y simetrías, la solución es básicamente única. Invito a mis sagaces lectoras/es a hallar una solución distinta o a demostrar que es única. Lo que no es difícil demostrar, mediante un abordaje ingenioso, es que no se pueden eliminar todos los cuadrados quitando menos de 9 palillos.

Este aparentemente sencillo pasatiempo de Sam Loyd, como a menudo ocurre con los rompecabezas geométricos, tiene más miga de lo que parece a primera vista y nos invita a explorar variantes de creciente complejidad. En este sentido, es interesante empezar por el principio e ir avanzando paso a paso.

En el caso trivial de un solo cuadrado de 1x1 formado por 4 palillos, es evidente que solo hay que retirar 1 para destruirlo. En el caso de 2x2, es fácil ver que hay que eliminar 3 palillos, y en el de 3x3 hay que retirar 6. No es tan fácil ver que en el de 4x4 hay que retirar un mínimo de 9 palillos. ¿Y en los cuadrados de 5x5, 6x6, 7x7…?

¿Y si no nos conformamos con destruir los cuadrados, sino que también queremos eliminar todos los rectángulos? En ese caso, tendremos que retirar 3 palillos del cuadrado de 2x2, 7 del de 3x3, 11 del de 4x4… ¿Te atreves a continuar?

Recolocar en vez de quitar

Por último, no se puede dejar de mencionar, al hablar de los problemas con palillos o cerillas, que se dividen en dos grandes grupos: los que se resuelven retirando elementos, como los que acabamos de ver, y los que se resuelven cambiando de lugar algunos elementos, pero sin eliminar ninguno y utilizándolos siempre en toda su longitud. Recordemos, a modo de ejemplo, uno de los más populares, sencillos y elegantes:

Cambiando de lugar dos cerillas, pasar de cinco cuadrados a cuatro sin que quede ninguna cerilla suelta.

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