Lo que las matemáticas pueden aprender de las hormigas

2018 ha sido proclamado Año Internacional de la Biología Matemática, por la European Mathematical Society (EMS) y la European Society for Mathematical and Theoretical Biology (ESMTB). Los principales objetivos de esta celebración son señalar el incremento y la importancia de las aplicaciones de las matemáticas a la biología y a las ciencias de la vida; pero lo cierto es que la interacción se da en ambas direcciones. Tal y como hacían los griegos hace dos mil años, los matemáticos seguimos observando e inspirándonos en la naturaleza para dar con nuevos desarrollos en nuestra disciplina.

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Por ejemplo, al mirar un panal, podríamos preguntarnos, ¿por qué hacen las abejas sus celdas hexagonales, cuando sería más sencillo hacer triángulos o cuadrados? El matemático griego Pappus de Alejandría conjeturó en el siglo IIII que un retículo hecho de hexágonos minimiza el área de las paredes que deben levantar las abejas, abarcando un mismo volumen de celda. Pero hubo que esperar hasta 1999 para que el matemático Thomas C. Hales demostrara la afirmación. Como esta, hay muchísimas tareas que se realizan en el mundo animal de forma llamativamente eficiente, y comprender sus mecanismos internos aporta lecciones muy interesantes a las matemáticas y a otras disciplinas.

El caso de las hormigas es muy ilustrativo. Aunque su cerebro es diminuto, desarrolla tareas colectivas (construcción de hormigueros, sistema social sofisticado, exploración y recolección de alimento) de notable complejidad. Es como si la suma de los cerebros de miles de hormigas constituyera el cerebro de un animal superior. ¿Cuáles son los mecanismos que usan para coordinarse en la recolección de alimento? Y, ¿qué podríamos aprender de ellos?

La respuesta, según investigaciones de los últimos años, la da una noción matemática: la de los llamados caminos aleatorios reforzados. En un camino aleatorio asignamos probabilidades, que pueden ser distintas, a dar cada paso a la derecha, a la izquierda, hacia delante o atrás. El resultado es un camino errático, también llamado "del borracho". En los caminos aleatorios reforzados se incrementa la probabilidad de ir en una cierta dirección cuando el caminante aleatorio percibe un aroma en esa dirección, como por ejemplo, el de las feromonas que las propias hormigas van secretando mientras caminan para que las compañeras puedan oler con sus antenas.

Gracias a este mecanismo tan simple, tal y como muestran resultados matemáticos y las simulaciones numéricas, un grupo suficientemente grande de hormigas termina concentrado en caminos de longitud mínima entre hormiguero y fuentes de alimento. También es interesante estudiar los mecanismos que emplean en la exploración en busca de alimento. En este caso la distribución de probabilidad en función de la dirección es de un tipo concreto, llamado de Pareto. Estas distribuciones favorecen de cuando en cuando cambios muy bruscos de dirección, permitiendo así la exploración del terreno sin quedar atrapados en una región concreta.

Este patrón de búsqueda, bastante común en el mundo animal, optimiza la probabilidad de encontrar algo de alimento y, por tanto, de sobrevivir. La descripción de estos mecanismos se puede aplicar en el diseño de robots miniaturizados encargados de, por ejemplo, detectar, reparar y limpiar un escape en una central nuclear.

También podemos aprender del carácter descentralizado del trabajo colectivo de las hormigas, que las dota de una resiliencia ante eventos destructivos. No hay una central de mando que diga a cada hormiga qué hacer, sino que se auto-organizan mediante feromonas. Estas actúan de modo que, si una fracción de hormigas desaparece por alguna razón (un accidente, un depredador, etc.) de forma espontánea otras reconstruyen el camino y prosigue la tarea recolectora.

Los caminos de recolección de alimentos, u otras infraestructuras como el propio hormiguero, se pueden representar mediante grafos, en los que las aristas unen vértices, como las redes de carreteras unen ciudades. Se construyen valorando la resiliencia y el coste. Los grafos llamados totalmente conexos, en los que todos los vértices se unen entre sí, permiten fácilmente encontrar nuevos caminos entre vértices ante la pérdida de varias aristas (es decir, son muy resilentes) pero son caros de construir. En cambio, los grafos mínimos, aquellos que unen todos los vértices usando el menor número de aristas posibles, son baratos pero la pérdida de una arista obliga a la reconstrucción. Normalmente los insectos encuentran una solución intermedia. Estos criterios de descentralización y resiliencia son también importantes en nuestras redes (de transporte, comunicación, cadenas de producción…) y plantean problemas de optimización muy interesantes. Las soluciones a las que llegan insectos, analizadas a través de las matemáticas, pueden ayudarnos a mejorar nuestros diseños.

Marco Fontelos es Investigador Científico en el CSIC-ICMAT.

María Vela es profesora de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad Complutense de Madrid y miembro del Instituto de Matemática Interdisciplinar. 

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.