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El difícil camino de lo micro a lo macroscópico

Desde la Antigua Grecia, la ciencia ha querido buscar y entender los últimos constituyentes de la materia

El comité del Nobel eligió un bagel para explicar el Nobel de Física de 2016.
El comité del Nobel eligió un bagel para explicar el Nobel de Física de 2016.

Miro la mano con la que escribo ahora mismo en mi ordenador. Está compuesta de tejidos, que a su vez están formados por células, y cada célula de moléculas, cada molécula de átomos, cada átomo de partículas elementales. ¿Qué son estas unidades? ¿Cuáles son los principios básicos que las rigen? Desde los tiempos de Demócrito (460 a. C.-c. 370 a. C.) en la Antigua Grecia, la ciencia ha querido buscar y entender los últimos constituyentes de la materia. Parece que al fin, tras siglos de investigación, se está concluyendo con éxito esta búsqueda, como ilustra el descubrimiento del bosón de Higgs en el CERN, entre otros avances.

A través de esta atomización de la ciencia se espera disponer de descripciones microscópicas de los procesos macroscópicos que aparecen en la naturaleza, como por ejemplo la imanación en un metal o el cambio de fase entre el agua y el hielo al bajar la temperatura. Sin embargo, el paso para explicar el comportamiento macroscópico esperado a partir de una descripción microscópica dada, supone, en muchos casos, un problema matemático de enorme complejidad. De esta forma, incluso teniendo una descripción exacta de las interacciones entre las partículas que componen un material, no es sencillo deducir a qué temperatura se producirá una transición de fase en el mismo.

De hecho, en el famoso listado de los 23 problemas matemáticos que guiarían las matemáticas del siglo XX, David Hilbert propuso, como parte central del problema número seis, derivar de forma rigurosa las ecuaciones matemáticas que rigen el comportamiento de los fluidos a partir de una descripción de cómo los átomos que lo constituyen se mueven y colisionan entre sí.

El mismo tipo de problema aparece en el estudio de las propiedades cuánticas que surgen en sistemas a temperatura suficientemente baja, cuya física obedece a las leyes de la mecánica cuántica. En estos materiales, incluso con una descripción exacta de las interacciones a nivel microscópico, no es posible predecir el comportamiento macroscópico esperado. Así sucede por ejemplo con la superconductividad de alta temperatura, descubierta de forma experimental en 1986 por Georg Bednorz y K. Alex Müller, lo que les valió el premio Nobel en 1987. Existe un modelo microscópico - el modelo de Fermi-Hubbard- que se conjetura como una explicación del efecto, pero, a fecha de hoy, no se conoce el mecanismo que explica la superconductividad de alta temperatura. Ni siquiera con técnicas numéricas en supercomputadores se han podido obtener predicciones medibles fiables a partir del modelo.

¿Podría ser que estos sistemas cuyas propiedades dependen del tamaño tengan una utilidad práctica?

Estas técnicas numéricas son las que permiten obtener la mayor parte del conocimiento en la física de la materia, debido a la complejidad del estudio de las propiedades cuánticas de los materiales. En un ordenador es posible simular sistemas de unas pocas partículas a partir del conocimiento de sus interacciones y, gracias al desarrollo computacional, es posible analizar numéricamente muestras del material de tamaños cada vez más grandes. Pero los recursos de tiempo y memoria requeridos (que crecen normalmente muy rápido con el volumen de la muestra), limitan el tamaño de la simulación, así que se emplean los datos obtenidos, en una sucesión creciente de tamaños, para extrapolar el comportamiento esperado del material a cualquier escala deseada.

Pero, ¿se puede garantizar que este proceso de extrapolación dará siempre una predicción razonable? Sorprendentemente no. En un artículo publicado recientemente en PNAS, junto con J. Bausch, T. Cubitt, A. Lucia y M.M. Wolf, hemos encontrado sistemas cuánticos con una descripción microscópica sencilla pero cuyo comportamiento cambia de forma radical a partir de un tamaño, que llamamos crítico. Llegado al tamaño crítico, al añadir una sola partícula más al sistema, las propiedades del mismo pasan de tener una descripción puramente clásica, a tener uno de los comportamientos cuánticos más exóticos conocidos: el llamado orden topológico. Los sistemas con orden topológico, cuyo descubrimiento fue distinguido con el premio Nobel en 2016, tienen la peculiaridad de que sus propiedades dependen de la topología (por ejemplo, del número de agujeros) que tenga la superficie del material. Así, las propiedades son distintas si el material tiene forma de esfera, de donut, o de ocho.

De esta manera, estos sistemas muestran que no es posible extrapolar siempre los resultados obtenidos numéricamente (aunque el tamaño de la simulación fuese enorme) para conocer el comportamiento macroscópico del material, ya que si el tamaño crítico está por encima de la capacidad computacional, la predicción sería un comportamiento macroscópico puramente clásico, muy distinto del comportamiento topológico real. Por otro lado, ¿podría ser que estos sistemas cuyas propiedades dependen del tamaño tengan una utilidad práctica? La historia nos enseña que lo exótico termina siendo útil a la larga: la radiación, el láser, los semiconductores, los superconductores, o incluso el mismo orden topológico, como sustrato de las futuras memorias cuánticas. En este caso, ¿quién sabe?

David Pérez es catedrático de Análisis Matemático en la Universidad Complutense de Madrid y miembro del ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

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