Un Nobel ‘de plastilina’ para entender el comportamiento de la materia

El Premio Nobel de Física 2016 ha sido muy matemático (lo cual no está mal, ya que en nuestra disciplina no se concede este galardón). Lo han obtenido David J. Thouless, F. Duncan Haldane M. y J. Michael Kosterlitz "por los descubrimientos teóricos de las transiciones de fase topológicas y fases topológicas de la materia". En esta especie de trabalenguas se repite la palabra “topología”, un área central de las matemáticas pero muy desconocida para el público no matemático.

La topología puede entenderse como el estudio de los objetos de plastilina. En vez de estudiar formas rígidas, se trabaja con objetos deformables. Para hacerse una idea basta acordarse de cuando jugábamos con plastilina: a partir de una barra, y sin más que apretar y aplastar se consiguen diferentes formas: una pelota, un avión, un cuenco… Las posibilidades son infinitas. Pero, ¿y si queremos hacer una taza? ¡Ah!, eso es otra cosa. Por más que se aplaste o apriete no hay forma de hacer el asa. O bien se pega otro trozo como asa, o bien se rompe el trozo original haciendo un agujero en él. Eso sí, una vez hecho el agujero, podemos convertir la taza en una rosquilla o un reloj de pulsera, otra vez estirando, apretando y aplastando. Pero no en unas gafas, que tienen dos agujeros, ni siquiera otra vez en una pelota, que no tiene ninguno.

La topología es la parte de las matemáticas que estudia las propiedades que quedan invariantes mediante deformaciones que no exigen cortar y pegar

El número de agujeros del objeto es una de las propiedades topológicas más sencillas de un trozo de material. La topología es precisamente la parte de las matemáticas que estudia las propiedades que quedan invariantes mediante deformaciones que no exigen cortar y pegar. Por ser las propiedades que no cambian por deformaciones, son propiedades globales de todo el material. Mirando a un trozo pequeño del mismo (por ejemplo, el interior de la taza) no podemos saber si tendrá un agujero o no, se necesita una observación global del objeto.

Haldane, Kosterlitz y Thouless, en los años 70 y 80 se dieron cuenta de que este tipo de propiedades topológicas intervenían en el comportamiento eléctrico y magnético de materiales en láminas o filamentos muy finos cuando se enfriaban lo suficiente. Este descubrimiento es el que les ha valido el Premio Nobel en Física 2016, concedido por la Real Academia Sueca de Ciencias.

El comportamiento magnético de los materiales viene determinado por el espín de los electrones, que se puede identificar como un vector (una flecha apuntando en una cierta dirección). En algunos sistemas, los electrones se encuentran distribuidos uniformemente en un plano y las flechas asociadas a los espines tienen que estar alineadas con el mismo. En este caso pueden aparecer vórtices o remolinos en la distribución de los espines. No se pueden crear o destruir cambiando suavemente las direcciones de los espines (como pasaba antes con los agujeros en la plastilina), por lo que son topológicos.

Kosterlitz y Thouless se dieron cuenta de que en ciertos materiales, al modificar la temperatura, el comportamiento de los vórtices cambiaba. Los vórtices pasaban de estar agrupados en pares cercanos con sentido de giro distinto, a estar distribuidos de forma independiente. Este cambio de comportamiento topológico les permitió explicar la transición de fase que experimentaba el sistema a cierta temperatura (en el mismo sentido que el hielo y el agua experimentan una transición de fase a 0 grados), y que no era explicable con las teorías anteriores.

Haldane aplicó técnicas similares para estudiar filamentos muy finos a temperaturas cercanas al cero absoluto (-273,15 grados). Usando argumentos topológicos se dio cuenta de que el comportamiento de los sistemas magnéticos era radicalmente distinto en función de si el número de grados de libertad de cada espín era par o impar.

Kosterlitz y Thouless se dieron cuenta de que en ciertos materiales, al modificarla temperatura, el comportamiento de los vórtices cambiaba

Desde entonces han aparecido numerosos modelos y materiales cuyo comportamiento sólo puede explicarse utilizando métodos topológicos, hasta el punto que el estudio, clasificación y síntesis de los sistemas con propiedades topológicas se ha convertido en uno de los problemas centrales en la física de los materiales. Además, el carácter topológico de estos sistemas los hace muy robustos frente a imperfecciones, ruido y errores, lo que los convierte en firmes candidatos para construir un ordenador cuántico en el futuro. En estos ordenadores cuánticos topológicos la información se codificaría y manipularía en las propiedades topológicas del material y son numerosas las instituciones y empresas que están intentando hacer realidad esta idea que tiene su origen en los trabajos pioneros de Haldane, Kosterlitz y Thouless.

David Pérez García es profesor de la Universidad Complutense de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.