La serie armónica

Imaginemos dos monedas de 6 cm de diámetro una encima de otra, tal como planteábamos la semana pasada. Es evidente que la de arriba podrá sobresalir un máximo de 3 cm, pues en ese momento su centro de gravedad (que coincide con el centro geométrico) quedará justo encima del borde de la de abajo. Es fácil ver que, en ese momento, el centro de gravedad de esta pareja de monedas estará en el punto medio de su radio común, por lo que si las apoyamos sobre una tercera, la del medio solo podrá sobresalir 1,5 cm del borde de la de abajo. Menos fácil de ver sin ayuda de una imagen (como la que adjunta Nacho en el comentario 25 de la semana pasada) es que si apilamos estas tres sobre una cuarta, la tercera solo podrá sobresalir 1 cm, pues, si tomamos como unidad el diámetro de la moneda, los “voladizos” máximos son, respectivamente, 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10, 1/12…

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Obsérvese lo deprisa que decrece el voladizo: si apiláramos monedas de 6 cm de diámetro, la sexta solo podría sobresalir 2 mm, y a partir de ahí el desplazamiento sería tan pequeño que no podríamos ajustarlo manualmente. Esto puede llevarnos a pensar que el desplazamiento máximo de la moneda superior de la pila con respecto a la de abajo del todo puede llegar a ser de unos 8 o 9 cm; pero, por increíble que parezca, la serie

1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + 1/12…

crece muy despacio, pero crece indefinidamente (es lo que en matemáticas se denomina una serie divergente), por lo que el voladizo global puede ser, en teoría, tan grande como queramos.

A quienes posean conocimientos de matemáticas no les habrá sorprendido este resultado tan contraintuitivo, porque la serie anterior es la conocida serie armónica

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6…

con todos sus términos divididos por 2, y puesto que la serie armónica es divergente, también lo será su serie mitad.

La serie armónica se denomina así porque, como ya observó Pitágoras, la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es inversamente proporcional a la longitud de dicha cuerda, de acuerdo con la serie de fracciones 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7… (aunque Pitágoras, obviamente, no comparaba longitudes de onda sino tonos musicales).

Se puede demostrar de forma ingeniosa y sencilla que la serie armónica crece indefinidamente. ¿Cómo?

Series convergentes

No todas las series crecen indefinidamente: hay otras, llamadas convergentes, que se acercan tanto cuanto queramos a un valor finito, denominado límite de la serie.

La famosa paradoja de Aquiles y la tortuga nos brinda un claro ejemplo. Si la tortuga va 1 metro por delante de Aquiles y él es el doble de rápido que ella, cuando la tortuga haya recorrido 1 m, Aquiles habrá recorrido 2 y en ese momento la alcanzará. Ninguna paradoja, pues, si planteamos la cuestión desde el punto de vista físico. Pero desde el punto de vista estrictamente matemático podemos decir que cuando Aquiles ha recorrido 1 m, la tortuga ha recorrido 1/2; cuando Aquiles ha recorrido ese 1/2, la tortuga ha recorrido 1/4; cuando Aquiles ha recorrido ese 1/4, la tortuga ha recorrido 1/8… Aquiles nunca alcanzará a la tortuga porque siempre le quedará un trecho por recorrer. A no ser que demostremos que la suma

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16…

es finita, o sea, que la serie es convergente. ¿Cómo podemos demostrarlo de forma sencilla e ingeniosa?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.