El principio de Cavalieri

Nos preguntábamos la semana pasada cómo podíamos hallar un valor aproximado de π mediante algún proceso aleatorio en la línea del método de Montecarlo. He aquí uno bastante sencillo: trazamos con tiza en el suelo (o con un lápiz en una hoja de papel) un círculo inscrito en un cuadrado; no importa que la figura no sea geométricamente perfecta, pues vamos a conformarnos con un valor aproximado, y puesto que ya conocemos el valor de π, en realidad lo que vamos a comprobar es la eficacia del método. Si llamamos r al radio de la circunferencia (no hace falta que lo midamos), el área del cuadrado será (2r)2 = 4r2, y el área del círculo, πr2. Si ahora lanzamos un buen número de objetos pequeños (guijarros, garbanzos, monedas, etc.) sobre la figura, por ejemplo 50, y 39 quedan dentro del círculo, partiendo del supuesto de que el número de objetos es proporcional al área podemos establecer la igualdad 39/50 = π/4, de donde π = 3,12. Si el resultado se aleja mucho del valor real de π, o no hemos lanzado suficientes objetos, o el lanzamiento no ha sido aleatorio.

Mediante una simulación por ordenador, se puede hacer que aparezcan puntos al azar (con un generador de números aleatorios) en una figura como la descrita, y es fácil ver que a medida que aumenta el número de puntos el resultado se va aproximando al valor real de π (ver los comentarios 10 y 34 de la semana pasada).

Los indivisibles de Cavalieri

Algunos de nuestros “usuarios destacados” se enzarzaron en un interesante debate sobre probabilidades (un tema inagotable en el que las falacias y las paradojas proliferan por doquier), y en algún momento se aludió al teorema de Fubini. Es un teorema relativo a las integrales, un campo en el que no nos adentraremos, pues requiere conocimientos que van más allá de las matemáticas básicas. Pero en el siglo XVII otro matemático italiano, Bonaventura Cavalieri, formuló un principio que podría considerarse un caso particular del teorema de Fubini, y que es anterior a las integrales y al cálculo infinitesimal propiamente dicho.

Siguiendo a Arquímedes, Cavalieri introduce el concepto de “indivisibles” (claro antecedente de los infinitesimales), secciones muy finas que permiten, por adición, calcular volúmenes cuyas fórmulas no se pueden determinar por métodos convencionales. En esencia, el principio de Cavalieri afirma que si dos cuerpos tienen la misma altura e igual área en sus secciones planas realizadas al mismo nivel, tienen igual volumen. Este principio se puede ilustrar con dos pilas de monedas iguales: es evidente que tendrán el mismo volumen aunque una de las pilas forme un cilindro perfecto y en la otra las monedas (que representan los “indivisibles” de Cavalieri) estén desplazadas.

Sabemos que el volumen del cilindro es πr2h (área de la base por la altura) y el del cono πr2h/3 (un tercio del área de la base por la altura). ¿Cómo podemos, a partir de aquí y aplicando el principio de Cavalieri, hallar la fórmula del volumen de la esfera?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.