Polígonos sagrados y estrellas malditas

Como vimos la semana pasada, los centros de los círculos de radios 1, 2 y 3 tangentes entre sí son los vértices de un triángulo rectángulo. Y no de uno cualquiera, sino del de lados 3, 4 y 5, nada menos que el triángulo sagrado de los egipcios, que sabían que el ángulo opuesto al lado mayor de este triángulo era recto, aunque no es seguro que generalizaran este resultado a todos los triángulos cuyos lados cumplen la relación a² = b² + c² (es decir, que conocieran el teorema de Pitágoras).

Como señala Salva Fuster: “Para los círculos tangentes entre sí de radios 1, 2 y 3, una vez dibujados sus centros formando un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5, resulta sencillo ver que el radio del círculo tangente exterior a esos tres será 6, y que su centro se encontrará justamente en el punto que formaría un rectángulo con los otros tres centros”. (¿Por qué?).

Hallar el radio del círculo tangente interior por métodos geométricos no es tan sencillo. Podemos recurrir a la fórmula:

Q² + R² + S² + T² = 1/2 (Q + R+ S + T)²

Pero, como vimos, los cálculos son largos y engorrosos, por lo que conviene echar mano de otra fórmula que nos da T directamente:

T = Q + R + S + 2√(QR + QS + RS)

T = 1 + 1/2 + 1/3 + 2√(1/2 + 1/3 + 1/6) = 11/6 + 2 = 23/6

Por lo tanto, el radio del círculo tangente interior será 1/T = 6/23

Si aplicamos el valor negativo de la raíz:

T = 11/6 – 2 = –1/6

Que corresponde al radio del círculo tangente exterior, que como hemos visto mide 6 unidades, considerando negativa su curvatura (en el caso del círculo tangente interior los cuatro círculos se “besan” con sus partes convexas, mientras que el círculo tangente exterior besa a los otros tres con su parte cóncava).

Del triángulo sagrado al pentáculo diabólico

El triángulo de oro de los egipcios no es el único polígono sagrado, dorado, místico… o maldito. Sin salir del ámbito de los triángulos, el equilátero sería el triángulo sagrado por excelencia, ya que representa al mismísimo Dios (la Santísima Trinidad), y no solo para el cristianismo: para el hinduismo también es el emblema de la tríada divina: Brahma, Visnú y Shiva.

Entre los cuadriláteros, destaca el rectángulo dorado, cuyos lados están en la -divina- proporción 1:1,618 (¿recuerdas por qué o puedes deducirlo?). El familiar folio DIN A4, de 210 x 297 mm, no llega a dorado, pero tiene una interesante propiedad geométrica que lo hace muy especial (¿cuál es?). Otro rectángulo omnipresente es el dominó o tatami, de lados en la proporción 1:2, que encontramos recurrentemente en ladrillos y baldosas, por la ventaja que supone poder acoplar dos lados menores con uno mayor para levantar paredes o teselar suelos.

En el caso del pentágono regular, son sus diagonales las que determinan la figura sagrada: el pentáculo, pentagrama o pentalfa, la estrella de cinco puntas venerada por los pitagóricos. Entre otras sutilezas geométricas, en la estrella pentagonal anida la antes aludida divina proporción. (¿Puedes encontrarla?).

Si trazamos las diagonales del pentágono interior del pentáculo, obtenemos otro, pero invertido, una inversión que no solo es espacial, pues el pentáculo boca abajo es un símbolo diabólico, cuya maldición te alcanzará si no determinas la proporción entre el área del pentáculo y la de su antipentáculo interno. O si no los dibujas adecuadamente, para lo cual hay que empezar dibujando un pentágono regular con regla (no graduada) y compás.

En el caso del hexágono regular, la construcción es muy sencilla, puesto que el lado del hexágono es igual al radio del círculo circunscrito, e igual de fácil es construir un triángulo equilátero o un cuadrado; pero en el caso del pentágono te costará un poco más. Si lo consigues, inténtalo con otros polígonos regulares: octógono, eneágono, decágono… hasta llegar al elusivo heptadecágono (polígono de 17 lados). Ánimo, Gauss lo consiguió cuando solo tenía 19 años.

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