Descartes vs Fermat: el combate del siglo XVII

Los tres círculos de radios 1, 2 y 3 tangentes entre sí contemplados la semana pasada tendrán sus centros en los vértices de un triángulo de lados 3, 4 y 5 (1+2, 1+3 y 2+3), es decir, de un triángulo rectángulo, por lo que no es difícil dibujarlos sin más ayuda que la de un compás (y una regla no graduada para trazar las líneas rectas, aunque si tienes buen pulso no es imprescindible). Trazamos dos rectas perpendiculares y, a partir de su punto de intersección, marcamos con el compás en una de ellas un punto situado a tres unidades arbitrarias del mismo y, en la otra, un punto situado a cuatro unidades, y ya tenemos los centros de las tres circunferencias tangentes: el punto de intersección es el centro de la de radio 1 y los otros dos son los centros, respectivamente, del círculo de radio 2 y del de radio 3. Ahora ya es más fácil (¿o no?) hallar el radio de los dos círculos tangentes a los otros tres, uno exterior y otro interior.

Los versos clave del poema de Soddy, por lo que se refiere al enunciado del teorema de Descartes, son los que dicen “es la adición de sus cuadrados/medio cuadrado de la suma”. Es decir, la suma de los cuadrados de las curvaturas es igual a la mitad del cuadrado de la suma de dichas curvaturas (recordemos que la curvatura de una circunferencia es el inverso de su radio). Si llamamos Q, R, S y T a las respectivas curvaturas de los cuatro círculos tangentes entre sí:

Q² + R² + S² + T² = 1/2 (Q + R+ S + T)²

En el caso de los círculos de radio 1, 2 y 3, si llamamos r al radio del cuarto círculo tangente a esos tres, tendremos:

Q = 1

R = 1/2

S = 1/3

T = 1/r

Por lo tanto:

1 + 1/4 + 1/9 + 1/r² = 1/2 (1 + 1/2 + 1/3 + 1/r)²

De donde es fácil deducir el valor de r (al ser una ecuación de segundo grado, obtendremos dos valores, uno para el círculo interior y otro para el exterior). Fácil, pero engorroso, por lo que conviene recurrir a una sencilla fórmula que permite calcular el valor del cuarto radio en función de los otros tres (¿puedes hallarla?).

En la segunda parte del poema erótico-matemático de Soddy, que amplía el teorema al caso tridimensional de cinco esferas tangentes entre sí, los versos clave son “es el cuadrado de la suma / tres por la suma de cuadrados”, lo que significa (pasando el factor 3 como divisor al otro lado de la ecuación para homologarla a la anterior):

Q² + R² + S² + T² + V² = 1/3(Q + R+ S + T + V)²

Filósofo contra abogado

No podemos despedirnos de Descartes, y menos tras hablar de geometría analítica, sin mencionar a Pierre de Fermat, el otro gran matemático francés de la época (que, por cierto, en realidad era un abogado que en sus ratos libres se distraía haciendo mates, por lo que fue llamado “príncipe de los aficionados”), pues descubrió la geometría analítica antes que Descartes, y si hoy hablamos de coordenadas cartesianas en lugar de fermatianas, es solo por el mayor prestigio de Descartes y porque presentó sus trabajos de una forma más clara y sistemática.

Molesto por el hecho de que Fermat se le hubiera adelantado, Descartes intentó desprestigiar al “incompetente abogado” tachando sus métodos de poco rigurosos. Pero ante los buenos resultados obtenidos por su rival, en un momento dado le escribió: “A la vista del último método que usted utiliza para hallar tangentes de líneas curvas, solo puedo decir que es muy bueno y que si lo hubiera usted explicado de esta forma desde el principio, yo no lo habría cuestionado en absoluto”.

Un detalle de fair play un tanto engañoso, pues, bajo cuerda, ambos pesos pesados de las matemáticas se ponían verdes el uno al otro a la menor ocasión (como bien sabía Mersenne, el tercer gran matemático de la época, que, como involuntario árbitro de la contienda, tenía que escuchar las quejas de ambos). Fue un combate a varios asaltos que, por más que Descartes acabara dando su nombre a las coordenadas, en realidad ninguno de los dos ganó. Entre otras cosas porque, como vimos, el trofeo de la geometría analítica ya se lo habían adjudicado mucho antes Apolonio de Perga y Omar Jayam.

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