La mosca de Descartes

Con respecto a las elipses de Steiner, vistas la semana pasada, comenta Salva Fuster: “El triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los segmentos del triángulo original es semejante al original, siendo la razón de semejanza entre ambos de 1/2 (1/4 si nos referimos al área). Como el baricentro de ambos triángulos es el mismo y las medianas de ambos triángulos coinciden sobre las mismas rectas, la proporción de áreas entre las dos elipses será de 1/4, aunque me parece que faltaría demostrar la unicidad de la inelipse y también que, construida como semejante a la circunelipse, es tangente a los puntos medios de los segmentos del triángulo original”.

Esto es más fácil de comprobar en el caso particular de que el triángulo sea equilátero, comparando los ejes de ambas elipses y viendo que los de la circunelipse son el doble de los de la inelipse (cuya área es π/3√3 para un triángulo de área 1).

En cuanto a la fracción 13/42 que, multiplicada por 15!, da el número total de soluciones del problema de las colegialas, es el resultado de la siguiente suma:

1/168 + 1/168 + 1/24 + 1/24 + 1/12 + 1/12 + 1/21 = 13/42 (¿por qué?).

Un genio papando moscas

Como vimos la semana pasada, Jakob Steiner detestaba la geometría analítica, que consideraba “impura”, un notable ejemplo de que los matemáticos, a menudo considerados el paradigma del pensamiento lógico, pueden incurrir en auténticos delirios emocionales. Pues la geometría analítica, con su fusión del álgebra y la geometría “pura”, es una de las más poderosas herramientas matemáticas.

Los antecedentes se remontan a la antigua Grecia, pues tanto Menecmo, discípulo de Platón, como Apolonio de Perga, el Gran Geómetra, utilizaron métodos mixtos muy próximos a la geometría analítica tal como hoy la entendemos; aunque el precursor más claro fue el insigne poeta y matemático persa Omar Jayam, cuyo Tratado sobre demostraciones de problemas de álgebra, escrito en el siglo XI, puede considerarse el texto fundacional de la geometría analítica. Pero quien le dio forma definitiva fue René Descartes, con ayuda de una mosca.

Debido a su precaria salud, Descartes pasaba mucho tiempo acostado, y no solo salieron de su postración sus conocidas reflexiones filosóficas, sino también algunas importantes aportaciones a la matemática. Se cuenta que un día yacía en la cama con la mirada perdida cuando se fijó en una mosca que revoloteaba por la habitación, y en vez de limitarse a “papar moscas”, como habría hecho otro, pensó que para determinar la posición del insecto bastaba con conocer su distancia al suelo y a dos paredes perpendiculares entre sí (y al suelo, naturalmente). Y si en vez de revolotear por la habitación, la mosca hubiera caminado sobre la mesilla de noche de Descartes, presumiblemente rectangular, podría haber determinado su posición por su distancia a dos lados perpendiculares. Habían nacido las coordenadas cartesianas.

La potencia de esta idea tan sencilla estriba en que, tomando como sistema de referencia un par de rectas perpendiculares, podemos convertir una línea en una ecuación y viceversa. Por ejemplo, la recta de la figura pasa por el punto de intersección de los ejes y cualquiera de sus puntos dista del eje horizontal el doble de lo que dista del eje vertical. Llamemos x (abscisa) a la segunda distancia e y (ordenada) a la primera, y todos los puntos de la recta cumplirán la relación y = 2x. O lo que es lo mismo: la recta es la representación gráfica de la ecuación y = 2x.

Sin rebuscar en la red ni desempolvar tus viejos libros escolares, ¿puedes hallar la ecuación de una circunferencia cuyo centro coincide con el punto de intersección de los ejes y cuyo radio mide 5 unidades?

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