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Las matemáticas de los fenómenos que se repiten

Los métodos utilizados por Poincaré están planteados para sistemas concretos de mecánica celeste, pero son muy efectivos en muchas otras situaciones

Órbitas periódicas en el sistema solar.
Órbitas periódicas en el sistema solar.

Eva Miranda. Penélope Cruz canta en Volver, la película de Pedro Almodóvar, el famoso tango de Gardel: “Volver, con la frente marchita, las nieves del tiempo platearon mi sien. Sentir, que es un soplo la vida, que veinte años no es nada…”, recordándonos que regresar al punto de partida es siempre posible. Este acto de regresar, tan poético y cinematográfico, también se puede estudiar matemáticamente desde diversos puntos de vista.

Los fenómenos periódicos, que tienen como patrón fundamental “volver al inicio”, se pueden asociar a una estructura algebraica llamada grupo, formada por un conjunto y una operación definida sobre el mismo, que cumple ciertas propiedades. Un ejemplo sencillo sería el reloj. Cada 12 horas la aguja vuelve al mismo sitio dibujando una circunferencia. La circunferencia, junto a la operación de la traslación de las agujas sería un grupo.

Por otro lado, la periodicidad también es un comportamiento que reproducen algunas soluciones de ecuaciones diferenciales; al dibujar estas soluciones se obtienen circunferencias denominadas órbitas periódicas. Por ejemplo, en el sistema solar las trayectorias de los planetas son soluciones de ecuaciones diferenciales, que surgen al aplicar las leyes de conservación de la energía del sistema, descrita por una función escalar llamada Hamiltoniano.

 Pero, ¿es posible conocer la existencia y localización de las órbitas periódicas en sistemas de ecuaciones diferenciales? Esto es fundamental, por ejemplo, para saber si un satélite volverá al punto de partida o caerá en medio de la nada. Sin embargo, debido a las perturbaciones del sistema, a veces no es fácil calcular las órbitas, y para hacerlo es necesario emplear todo tipo de técnicas: métodos propios de ecuaciones diferenciales pero también herramientas de geometría y topología. En particular, se intentan relacionar las propiedades de las órbitas con la forma (o topología) del llamado espacio de fases (que es el conjunto de todas las posiciones y momentos del sistema).

Uno de los matemáticos que hizo grandes avances en este problema fue el francés Henri Poincaré, conocido también por la conjetura que lleva su nombre y que fue demostrada por la única persona que ha rechazado la medalla Fields en toda su historia, Grigori Perelman. Poincaré estudió las órbitas periódicas en el problema de los tres cuerpos, que analiza el movimiento de tres objetos atraídos entre sí (el Sol, la Tierra y la Luna, por ejemplo). En este caso las trayectorias, descritas por ecuaciones diferenciales, presentan la complejidad adicional de ser un sistema no integrable (es decir, que no disponemos de suficientes integrales primeras para localizar sus soluciones).

Poincaré trabajó también en la versión restringida del problema de tres cuerpos (donde se supone que uno de los cuerpos tiene masa prácticamente cero y que los cuerpos se mueven en un plano), y demostró que existe una infinidad de órbitas periódicas que se aglomeran cerca de lo que se conoce como línea del infinito. Los métodos utilizados por Poincaré están planteados para sistemas concretos de mecánica celeste, pero son muy efectivos en muchas otras situaciones y, en algunos casos, todavía no se ha encontrado otra herramienta que iguale o mejore sus resultados.

Coreografía del problema de 3 cuerpos (Imagen de Scholarpedia por Jacques Féjoz)
Coreografía del problema de 3 cuerpos (Imagen de Scholarpedia por Jacques Féjoz)

En los años 70, los matemáticos Paul Rabinowitz y Eduard Zehnder identificaron las órbitas periódicas con los puntos críticos (donde la derivada se anula) de una función llamada funcional de acción, empleando cálculo variacional. Un alumno de tesis de Zehnder, Andreas Floer, fue más allá y relacionó todos los puntos críticos del funcional de acción con un objeto algebraico (homología de Floer). En concreto, Floer consiguió probar que si una de las homologías de Floer asociadas al sistema no es cero entonces existen órbitas periódicas. Esta teoría combina herramientas de topología, geometría, análisis y álgebra para resolver un problema de sistemas dinámicos.

Sin embargo, esta es solo una de las armas en nuestro arsenal. En ocasiones las técnicas de Floer no mejoran los resultados obtenidos por Poincaré, pero ofrecen una mejor comprensión del problema abriendo nuevas puertas. Estos avances más teóricos, aplicados conjuntamente con técnicas propias de cálculo numérico y sistemas dinámicos permiten abordar, entre otros, problemas de mecánica celeste y dinámica espacial todavía no resueltos, como el diseño de la trayectoria de un satélite.

-Alicia: "¿Cuánto tiempo es para siempre?"

-El conejo blanco: "A veces solo un segundo."

Lewis Carroll, Alicia en el país de las maravillas

 

Eva Miranda es catedrática en Geometría y Topología ICREA Academia en la Universidad Politécnica de Catalunya/BGSMath, chercheur associé en el Observatorio de París y doctora vinculada en el ICMAT

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT)


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