Las matemáticas que describen la forma de la costa

El 14 de octubre de 2010 falleció el matemático francés Benoit Mandelbrot, que fue la cabeza visible de la llamada teoría de los fractales. Mandelbrot desarrolló una actividad multidisciplinar reconocida en varios ámbitos científicos, pero gran parte de su fama pública se debe a que uno de los conjuntos fractales (término que acuñó) más representados lleva su nombre.

No hay una definición universalmente aceptada de fractal, pero prácticamente todos los autores ligan este término a alguna forma de autosemejanza y a dimensiones fraccionarias. La autosemejanza es la propiedad que garantiza que se conserva la misma estructura a diferentes escalas. Un ejemplo que es fácil de encontrar en el mercado es el brécol romanesco. Cada pequeña porción de este vegetal reproduce su forma global. Ejemplos más simples son las ramas de un árbol o los vasos sanguíneos, en los que las divisiones más pequeñas son un modelo a escala de las más grandes. En un plano más abstracto, está el triángulo de Sierpinski. Si en un triángulo equilátero marcamos la mitad de cada lado, al unir marcas en lados opuestos el triángulo quedará dividido en cuatro. Descartemos el central, el que está invertido, y repitamos el proceso indefinidamente con los tres triángulos restantes. El resultado es un conjunto que observado con una lupa de cualquier aumento tiene el mismo aspecto.

La dimensión es un concepto más esquivo. Normalmente consideramos la dimensión como el número de parámetros que necesitamos para describir algo. Así decimos que el espacio es tridimensional porque necesitamos tres coordenadas, largo, ancho y alto para indicar cada punto. Esta noción de dimensión no describe bien el caso de objetos rugosos, en los que se dan cambios muy abruptos. En este caso, la dimensión puede dejar de ser un número entero y convertirse en un valor fraccionario.

Mandelbrot estudió esta situación en uno de sus artículos más conocidos: How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension (asequible para cualquiera con conocimientos de bachillerato). Al medir la longitud de una costa muy irregular, el resultado dependerá del tamaño de la regla de medir utilizada. Si se usa una muy pequeña, todos los recovecos harán que la longitud aumente considerablemente. Eso es bien diferente de lo que ocurriría para una curva suave como una circunferencia (en la que siempre obtendremos en el límite el consabido 2 pi R). La costa de Gran Bretaña, afirmaba Mandelbrot, venía modelada por un objeto geométrico llamado fractal. Es una curva, en el sentido de que se puede describir con una función continua, pero la dimensión de su imagen no es unidimensional, en algún sentido, como lo es en una curva suave.

La dimensión fractal queda determinada por la variación de la longitud medida, en términos de la variación de la regla. Se dice que una curva tiene dimensión D si los valores obtenidos al multiplicar la longitud medida por una potencia D-1 de la longitud de la regla usada se van acercando a una constante para reglas pequeñas. Para dimensión D = 1 hay independencia de la regla, siempre que sea pequeña, mientras que para dimensión D=3/2, cada vez que reduzcamos la regla a la cuarta parte, la longitud medida se multiplicará por dos. En su artículo, Mandelbrot afirma que la dimensión fractal de la costa de Gran Bretaña es 1,25, un valor “más fractal” que, por ejemplo, el de la frontera entre España y Portugal (que es 1,14 según datos del matemático inglés Lewis Fry Richardson).

Más allá de su aplicabilidad en áreas como la medicina o las comunicaciones, los fractales han tenido un notable éxito popular, que radica en que poseen una belleza visual inmediata basada en las simetrías, como la de la obra de M.C. Escher. Esta popularización de imágenes fractales está sin ninguna duda ligada al desarrollo de la informática. Hoy en día es tan sencillo generarlas en cualquier ordenador (reiterando millones de veces el proceso que da lugar a la autosemejanza), que no sorprende que las imágenes hayan viajado de los textos universitarios de matemáticas a las carpetas de los adolescentes pasando por infinidad de soportes digitales.

Fernando Chamizo es profesor titular de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del ICMAT. Ágata Timón es responsable de Comunicación y Divulgación del ICMAT

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT)