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El copo de nieve de Koch

Uno de los primeros y más sencillos objetos fractales plantea una desconcertante paradoja

Generación del copo de Koch. Ampliar foto
Generación del copo de Koch.

La semana pasada nos preguntábamos por el método de construcción del número (normal) de Copelan-Erdös: 0,235711131719232931374143…

Se trata, sencillamente, de encadenar por orden creciente los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…

En el primer paso, a la alfombra de Sierpinski le quitamos 1/9 de su área, por lo que quedan 8/9; en el siguiente paso, eliminamos 1/9 de estos 8/9, con lo que quedan 82/92… En el paso n-simo, y tomando como unidad el área del cuadrado inicial, la superficie remanente será (8/9)n. Es una progresión geométrica decreciente de razón 8/9, por lo que el área de la alfombra tiende a 0. ¿Significa esto que la alfombra sencillamente desaparece? ¿Qué queda, si es que queda algo?

Sierpinski también dio nombre a otro objeto fractal: un triángulo equilátero (u otro cualquiera) al que le quitamos el triángulo que se forma al unir los puntos medios de sus lados, y vamos haciendo lo mismo, sucesiva e indefinidamente, con los triángulos que van quedando. ¿Cuál es la pauta de decrecimiento? ¿En qué se asemeja el triángulo de Sierpinski a la alfombra, y en qué se diferencia? ¿Tiene alguna relación con el triángulo de Pascal?

El triángulo de Koch

El triángulo de Koch.
El triángulo de Koch.

Si en vez de quitarle a un triángulo inicial triangulitos cada vez más pequeños se los vamos añadiendo, obtenemos uno de los primeros y más conocidos objetos fractales: el copo de nieve de Koch, descubierto en 1904 por el matemático sueco Helge von Koch.

La construcción es muy sencilla: dividimos cada lado de un triángulo equilátero en tres segmentos iguales, y sobre cada segmento central construimos otro triángulo equilátero (con lo que obtenemos la silueta de una estrella de David), y así sucesiva e indefinidamente. ¿Puedes calcular el área de este objeto fractal? ¿Y la longitud de la línea cerrada que envuelve dicha área?

Como anécdota curiosa, hay otro triángulo de Koch que no tiene nada que ver con el matemático sueco ni con los fractales: una zona triangular de la aurícula derecha del corazón humano a la que dio nombre el famoso bacteriólogo alemán Robert Koch (el descubridor de la bacteria de la tuberculosis, denominada en su honor “bacilo de Koch”).

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.

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