La alfombra de Sierpinski

Nos preguntábamos la semana pasada por posibles expresiones curiosas del número 2018. Pedro José Paúl señala que 2018 = 13² 43² (o sea que es el área de un cuadrado cuyo lado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos enteros). Y Gonzalo Martín lo expresa elegantemente como suma de cuatro cuartas potencias casi consecutivas 2018 = 2⁴ 3⁴ 5⁴ 6⁴.

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Una forma sencilla de construir un número normal (dando por supuesto que es condición necesaria y suficiente que en su desarrollo aparezca cualquier número natural) es encadenar ordenadamente todos los números naturales como desarrollo decimal de dicho número normal:

0,1234567891011121314151617…

Es el número de Champernowne, similar en cierto sentido al de Copeland-Erdös, que también es normal (aunque no es fácil demostrarlo):

0,235711131719232931374143…

Una pregunta sencilla para catecúmenos: ¿cuál es el criterio de construcción de este número?

Paradójicamente, aunque hay muchos más números normales que anormales, es mucho más fácil construir estos últimos. Por ejemplo, si en la construcción de Champernowne, en vez de encadenar todos los números naturales, encadenamos solo los pares o los impares, obtenemos dos anormales evidentes:

0,13579111315171921232527…

0,246810121416182022242628…

Nadie ha contestado la pregunta final de la semana pasada (tal vez por su índole festiva): ¿se te ocurre algún argumento extramatemático e inmediato a favor de la existencia de números anormales? Muy sencillo: si todos los irracionales fueran normales, el adjetivo sería superfluo.

La alfombra mágica

Los números de Champernowne y de Copeland-Erdös son, efectivamente, normales; pero la demostración rigurosa (sin partir del supuesto de que la condición necesaria antes mencionada es también suficiente) es complicada y requiere un cierto nivel matemático. El primero en determinar un número normal y demostrar que lo era fue Waclaw Sierpinski, en 1917.

Además de sus aportaciones a la teoría de números y a la teoría de conjuntos, el prolífico matemático polaco estudió los fractales, y es conocido sobre todo por varios objetos que llevan su nombre, como la alfombra de Sierpinski.

Para construir una alfombra de Sierpinski, dividimos un cuadrado en 9 cuadrados iguales y eliminamos el del centro; luego hacemos lo mismo con cada uno de los 8 cuadrados restantes, y así sucesiva e indefinidamente. El diseño obtenido recuerda al de algunas alfombras orientales, y de ahí el nombre de este fascinante objeto fractal.

En cada paso de la construcción de esta “alfombra mágica” eliminamos una parte de la superficie del cuadrado. ¿Cuál es la secuencia numérica que expresa esta reducción progresiva, y qué podemos decir de ella? Y tras una pregunta sencilla, otra para nota: ¿es la alfombra de Sierpinski un objeto bidimensional?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.