El triángulo de Pascal

Una sencilla construcción numérica de inagotable combinatoria y sorprendentes propiedades

Triángulo de Pascal
Triángulo de Pascal

Nos preguntábamos la semana pasada si se puede establecer alguna relación entre el triángulo de Sierpinski y el triángulo de Pascal. Como ha señalado Guillermo Navas, coloreando los números impares del triángulo de Pascal y dejando en blanco los pares, se obtiene un triángulo de Sierpinski (ver comentario 144 de la entrega anterior).

En cuanto a la superficie (S) del copo de nieve de Koch, es fácil ver que, si tomamos como unidad el área del triángulo inicial, las sucesivas adiciones de áreas dan lugar a la serie siguiente:

S = 1 + 1/3 + 22/33 + 24/35 + 26/37

Podemos hallar S mediante un sencillo y elegante “truco”, restando 1 a ambos miembros de la igualdad y luego multiplicándolos por 4/9:

Más información

4/9 (S – 1) = 22/33 + 24/35 + 26/37 + 28/39… = S – 1 – 1/3

4S – 4 = 9S – 9 – 3

5S = 8

S = 8/5 = 1,6

El perímetro del copo, sin embargo, crece indefinidamente, puesto que se trata de una progresión geométrica creciente: en cada paso, cada lado de la configuración anterior se multiplica por 4/3. Nos encontramos, pues, con una sorprendente figura de área finita y perímetro infinito.

El triángulo del tartamudo

Hemos visto la relación del triángulo de Sierpinski con el de Pascal. Recordemos la sencilla construcción de este último: en su primera fila hay un único 1, en la segunda dos 1, en la tercera dos 1 con un 2 entre ellos… En cada fila, cada número es la suma de los que tiene justo encima (solo uno -un 1- en el caso de los extremos y dos en el de los demás). Estos números son los coeficientes del desarrollo de las sucesivas potencias de una suma de dos sumandos: (a + b)n, o sea, del binomio de Newton:

(a + b)0 = 1

(a + b)1 = 1a + 1b

(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2

(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

El triángulo de Pascal se conoce también como triángulo de Tartaglia, en honor del matemático italiano Niccolò Fontana, apodado Tartaglia por su tartamudez, que lo estudió antes que Pascal, aunque menos a fondo. Pero en realidad tampoco fue él el primero, pues en India se conocía este triángulo numérico desde al menos el siglo X, y en Persia lo estudió, entre otros, el gran matemático y poeta Omar Jayam.

La sencilla configuración de este triángulo numérico encierra interesantes propiedades. Podemos relacionarlo con las potencias de 2, con la sucesión de Fibonacci e incluso con los escurridizos números primos. ¿De qué maneras? ¿Qué otras propiedades y posibles generalizaciones ves en él, sagaz lector(a)?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.

Normas

Más información

Archivado En

Recomendaciones EL PAÍS
Recomendaciones EL PAÍS
Recomendaciones EL PAÍS
Logo elpais

Ya no dispones de más artículos gratis este mes

Suscríbete para seguir leyendo

Descubre las promociones disponibles

Suscríbete

Ya tengo una suscripción