El arte de doblar papel

El rectángulo dorado y la familiar hoja de papel DIN A4, mencionados la semana pasada, comparten la propiedad de autorreplicarse fácilmente. Si al rectángulo áureo le quitamos un cuadrado de lado igual a su lado menor, el rectángulo restante es semejante al primero (y, por tanto, también es áureo).

Si tomamos como unidad el lado menor del rectángulo inicial y llamamos x a su lado mayor, para que ambos rectángulos sean semejantes sus lados han de ser proporcionales, por lo que:

x:1 = 1:(x-1)

x2 – x – 1 = 0

x = 1,618… = Φ (el número áureo)

En el caso de la hoja de papel DIN A4, la autorreplicación es aún más sencilla: al doblarla por la mitad, obtenemos dos hojas DIN A5 semejantes a la hoja entera. Si de nuevo tomamos como unidad el lado menor de la hoja y llamamos x al lado mayor, ahora tendremos:

x:1 = 1:(x/2)

x²/2 = 1

x = √2 = 1,414…

La denominación DIN A4 proviene del Instituto Alemán de Normalización: DIN son las siglas del Deutsches Institut für Normung, y el 4 indica el número de veces que hay que doblar el pliego original, A0, de 841x1189 mm, para obtener el familiar formato de 210x297 mm, que se corresponde aproximadamente con el antiguo folio, del mismo modo que A5 se aproxima a la antigua cuartilla y A6 a la octavilla.

Si en la figura adjunta cambiáramos adecuadamente la colocación de A3, A4 y siguientes, tendríamos el marco de una cuasiespiral picuda parecida a la conocida espiral dorada: la seudoespiral DIN. ¿Qué puedes decir de ella?

Y, puestos a doblar, ¿cuántas veces crees que puedes doblar y redoblar una hoja de papel? Si lo intentas, verás que no podrás doblarla más de siete veces consecutivas. El grosor de una hoja de papel normal es de una décima de milímetro aproximadamente, por lo que tras siete doblamientos tendrás en la mano un pequeño e impracticable tocho de unos 13 mm de grosor. Pero si pudieras seguir doblando y redoblando indefinidamente, ¿cuántas veces tendrías que doblar una hoja de papel para que el tocho resultante llegara a la Luna? ¿De qué tamaño tendría que ser la hoja para que la operación fuera posible (en el caso ideal de que el papel no ofreciera ninguna resistencia al doblamiento)?

En cuanto al pentáculo, si aún no has hallado la proporción entre su área y la del pentáculo invertido de su interior, tienes una segunda oportunidad: ten en cuenta que en un pentáculo hay 10 triángulos isósceles, 5 acutángulos (las puntas de la estrella) y 5 obtusángulos, y en todos ellos la razón entre el lado mayor y el menor es el número áureo (1,618…). Y en un pentágono regular, la diagonal y el lado también están en la proporción áurea. ¿Cuál será, pues, la razón del área del pentáculo y la de su antipentáculo interior? Una advertencia: en un famoso microrrelato de Fredric Brown, un aspirante a brujo es atrapado por el diablo por no saber la suficiente geometría pentacular, de modo que…

Del doblado tipo DIN al map folding

Volviendo al arte de doblar una hoja de papel, una pregunta no menos interesante que la de cuántas veces es físicamente posible hacerlo, es de cuántas maneras distintas podemos doblarla. Si se trata de una hoja en blanco a doblar por la mitad de la forma habitual (es decir, uniendo los bordes más cortos), la pregunta es irrelevante; pero si es una hoja impresa con imágenes y/o textos por ambas partes, podemos doblarla de dos maneras, según qué cara dejemos por fuera, y al doblarla otra vez tenemos de nuevo dos posibilidades, y así sucesivamente. Es decir, tenemos 2ⁿ posibilidades, siendo n el número de doblamientos (lo que en el caso del formato DIN da siempre rectángulos semejantes al primero).

Pero cuando en el mundo real nos encontramos con un papel doblado varias veces, no suele ser en sucesivos doblamientos demediadores tipo DIN, pues no sería práctico a la hora de, por ejemplo, desplegar un mapa. Y entonces la cosa se complica considerablemente.

¿De cuántas maneras distintas podemos doblar dos veces seguidas una hoja de papel si también son válidos los doblamientos “alargados”, es decir, uniendo los lados más largos? ¿Y tres veces, cuatro…?

Y si además contemplamos doblamientos que no sean por la mitad, como los que de hecho encontramos en los mapas, entramos en un complejo y escurridizo campo de la combinatoria que los propios matemáticos califican de “irritante”: el map folding. Pero ese es otro artículo.

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