Planetas y pompas de jabón

No es difícil calcular el diámetro del núcleo terrestre conociendo su densidad, la del manto y la densidad media de la Tierra (que, dicho sea de paso, es la mayor del Sistema Solar: 5,5). Incluso sobran los datos sobre la corteza, pues es tan fina que podemos despreciarla. Eso es lo que tienen en común la Tierra, un globo y una pompa de jabón: la delgadez y fragilidad de sus respectivas “pieles”. Y el principal objetivo del problema planteado la semana pasada era poner de manifiesto la extremada delgadez relativa de la corteza terrestre: si la Tierra fuera del tamaño de un balón de fútbol, la corteza sería tan fina como una cáscara de huevo. De ahí que podamos despreciarla y resolver el problema “a la manera de Fermi”, como hace nuestro “usuario destacado” Manuel Amorós:

“Una forma de calcular aproximadamente la solución sería percatarse de la estrechez de la corteza comparada con el radio de la Tierra, y despreciar dicha capa. Con las dos incógnitas x el radio interior e y el radio total, obtenemos enseguida que y3=3.5x3. Como la raíz cúbica de 3.5 es aproximadamente 1.5, deducimos que x es 2/3 del radio de la Tierra”.

Astros, pompas y globos

Tanto un planeta -u otro astro- como un globo o una pompa de jabón adoptan la forma esférica (ligeramente distorsionada en el caso del globo a causa del pitorro de hinchado) porque las fuerzas implicadas los obligan a maximizar la relación volumen/superficie, y la esfera es el sólido con menor superficie para un volumen dado. Las fuerzas no son las mismas, pero obtienen el mismo resultado: la gravedad en el caso de los astros, la tensión superficial del agua en el de las pompas, y la presión atmosférica en equilibrio con la elasticidad de la goma) en el caso de los globos.

Las pompas de jabón son objetos fascinantes desde el punto de vista físico y matemático, como veremos en alguna futura entrega. Su esfericidad casi perfecta, como señalaba un lector, contrasta con la consabida silueta de las gotas de agua, que también deben su forma a la tensión superficial. ¿Por qué son geométricamente distintas?

Y los familiares globos infantiles, ya sea llenos de aire o de helio, también pueden ser muy instructivos, a la par que sorprendentes. ¿Qué pasa si enfocamos un globo con un ventilador y hacemos incidir sobre él su chorro de aire?

Otro comportamiento contraintuitivo de los globos podemos observarlo en el interior de un coche en marcha:

En el asiento trasero de tu automóvil, que conduces a velocidad uniforme por un tramo de carretera rectilíneo, un niño sostiene por su hilo un globo lleno de helio que flota rozando el centro del techo. De pronto giras a la derecha; ¿qué hace el globo?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal