Sólidos de Johnson

Nos preguntábamos la semana pasada por qué nuestras estanterías no son hexagonales, como las celdillas de las abejas, en vez de rectangulares (ortoédricas, para ser exacto). ¿Son las abejas más listas que nosotras, al construir un tipo de “estanterías” estructuralmente más resistente y que suponen un claro ahorro de material? El “pacto con la naturaleza” que Le Corbusier veía en el ángulo recto es la explicación. Somos seres grandes y pesados (comparados con las abejas), mucho más dependientes del binomio horizontal-vertical, y apilamos cosas (ladrillos, cajas); por no hablar de los libros, pequeños ortoedros que guardamos en estanterías igualmente ortoédricas.

Por la misma razón, las líneas rectas explícitas y evidentes son más abundantes en las obras humanas que en la naturaleza, seguidas de cerca por las circunferencias (baste pensar en las omnipresentes ruedas) y sus arcos.

Y hablando de líneas rectas y arcos de circunferencia, tenemos un claro ejemplo de su pugna (nunca mejor dicho) como reinas del diseño en las espadas: las occidentales, históricamente, han sido preferentemente rectas, mientras que en Oriente abundaban las curvas, como el alfanje árabe o la katana japonesa. Pero ¿podemos asegurar, sin ser expertos en armas blancas, que la hoja de una katana es un arco de circunferencia? ¿No podría ser otro tipo de curva más idónea para cortar cabezas? ¿Qué singular propiedad comparte un arco de circunferencia con un segmento rectilíneo? ¿Qué otra línea podemos incluir en este reducido grupo?

Poliedros ilustres

Algunos lectores han comentado que el escutoide no es propiamente un nuevo tipo de poliedro (ver comentarios de la semana pasada), sino, en todo caso, un nuevo objeto geométrico natural. No les falta razón, aunque eso no le resta ni un ápice de interés al descubrimiento. Los poliedros, como hemos visto, se clasifican en función de ciertas regularidades que los hacen singulares, tanto más singulares cuanto más estrictas son esas regularidades. Los más destacados, como hemos visto en entregas anteriores, son los cinco sólidos platónicos, poliedros regulares y convexos, seguidos por los sólidos arquimedianos, los de Kepler-Poinsot y los de Catalan.

Para completar el elenco de poliedros ilustres, hay que mencionar los sólidos de Johnson, los menos exigentes y, en consecuencia, los más abundantes. Los sólidos de Johnson son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares no todos del mismo tipo (pues entonces serían platónicos) combinados de cualquier manera y en cualquier proporción. Por ejemplo, una pirámide como las de Egipto, de base cuadrada y cuyas caras laterales son triángulos equiláteros, es un sólido de Johnson (el primero de la lista, de hecho, ya que se clasifican de menos a más complejo).

Dadas las escasas condiciones requeridas para entrar en su club, cabría pensar que hay innumerables sólidos de Johnson; sin embargo, solo existen 92, desde la sencilla pirámide cuadrada hasta la impronunciable hebesfenorrotonda triangular. Como de costumbre, invito a mis sagaces lectoras/es a dar un paseo analítico por el panteón de estos interesantes poliedros. Y a compartir sus reflexiones.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellosMaldita física,Malditas matemáticasoEl gran juego. Fue guionista deLa bola de cristal.