Lo recto y lo torcido

Imaginemos un plano con solo dos puntos destacados, A y B; obviamente, su elemental diagrama de Voronoi será la mediatriz del segmento AB. Si se trata del plano de un pueblo en el que A y B indican la localización de sus farmacias, la mediatriz de AB es la frontera entre las respectivas zonas de influencia de ambas farmacias (partiendo del supuesto de que la gente acude a la que está más cerca de su casa).

En el caso de tres puntos no alineados, el diagrama lo forman las mediatrices de los lados del triángulo cuyos vértices son dichos puntos (si los puntos están alineados, el diagrama se reduce a dos rectas paralelas que delimitan tres franjas adyacentes). Y, en general, los diagramas se construyen trazando las mediatrices de los segmentos que unen puntos contiguos, mediatrices que, al cortarse, producen una teselación del planto tal que todos los puntos de cada zona están más cerca de su punto de referencia que de cualquier otro de los puntos generadores del diagrama.

En la naturaleza, los diagramas de Voronoi aparecen por doquier, desde las manchas de la jirafa hasta los panales de las abejas, que, además, consiguen optimizar el rendimiento de la cera como material de construcción de sus celdillas. Pero entonces, ¿por qué nuestras estanterías y casilleros casi siempre son rectangulares en vez de hexagonales? La respuesta se insinúa en el párrafo siguiente. 

Tendemos a pensar linealmente, y a concebir el tiempo mismo como una línea recta, como los renglones de la escritura. Y nuestra visión -y percepción- del espacio es básicamente ortogonal. Cosa perfectamente comprensible, puesto que la gravedad tira verticalmente de nosotros (define la verticalidad, para ser exacto) y la horizontalidad nos da una base estable. Como dice Le Corbusier en su Poema del ángulo recto:

Erguido sobre el plano terrestre

de las cosas comprensibles,

contraes con la naturaleza un

pacto de solidaridad: es el ángulo recto.

El ángulo recto es nuestro pacto de solidaridad con la naturaleza, también regida toda ella por el binomio horizontal-vertical, aunque en ella los ángulos no suelan aparecer en su elemental desnudez, como ocurre en las construcciones humanas, desde un edificio a una caja de zapatos.

Pero la naturaleza es mucho más compleja, y nos sorprende a veces con giros y torsiones imprevistos. Kekulé tuvo que soñar la estructura circular del benceno, porque su mente cartesiana se obstinaba en verlo como una cadena rectilínea. Y la doble hélice del ADN exigió por parte de sus descubridores una pirueta mental similar a la pirueta geométrica de los nucleótidos en el seno del polímero.

Y, como vimos la semana pasada, una nueva e inesperada torsión geométrica acaba de abrir una prometedora vía de investigación. Se creía que las células epiteliales eran prismas, como las teselas de un mosaico (tendemos a pensar en los mosaicos como objetos planos, pero las teselas tienen un grosor considerable). Sin embargo, un equipo de la Universidad de Sevilla formado por Luisma Escudero, Clara Grima, Javier Buceta y Alberto Márquez ha demostrado que las “teselas” epiteliales no son prismas ni pirámides truncadas sino escutoides (llamados así en honor de Escudero), cuerpos geométricos que Clara Grima describe así: “El escutoide, técnicamente, se obtiene a partir de segmentos perpendiculares a todas las capas [del tejido epitelial] comprendidas entre la capa apical (la de arriba) y la capa basal (la de abajo). Para ello, se eligen un conjunto de puntos (semillas) en la capa apical, por ejemplo. Se trazan los segmentos perpendiculares a la capa apical en cada una de estas semillas. En cada capa comprendida entre la apical y la basal, cada segmento producirá una intersección (una nueva semilla); a estas semillas nuevas les calculamos diagramas de Voronoi en dicha capa (de forma similar a como se hace en el plano, pero hay que adaptar algo las técnicas). Ahora pegando las regiones de Voronoi (que serán polígonos) correspondientes a todos los puntos de un mismo segmento se obtiene un escutoide”.

Invito a mis sagaces lectoras/es a reflexionar sobre este nuevo y fascinante objeto geométrico. Y a compartir sus reflexiones.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellosMaldita física,Malditas matemáticasoEl gran juego. Fue guionista deLa bola de cristal.