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Diagramas de Voronoi

¿Construyen las abejas sus panales siguiendo un diagrama de Voronoi?

El número supuestamente escrito por la mujer de Euler con el que, como veíamos la semana pasada, el gran matemático supuestamente quiso abochornar a Diderot, es:

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Hay distintas formas de llegar a este resultado. Puesto que el número original -llamémoslo N- termina en 2, su penúltima cifra ha de ser 4, pues al pasar el 2 al primer lugar la penúltima cifra de N se convierte en la última de 2N. Por otra parte, la primera cifra de N ha de ser 1, pues solo así un número del mismo número de cifras que empieza por 2 puede ser su doble. La antepenúltima cifra de N ha de ser 8 (4 x 2), la anterior 6 (8 x 2 = 16), la anterior 3 (6 x 2 = 12 y llevamos 1 de la operación previa), y así sucesivamente hasta llegar a un 1 “limpio” (que no sea el segundo 1 de un 11), que al multiplicarlo por 2 nos dará un 2 sin acarreo.

En cualquier caso, y como ya señalé, la historia del duelo teológico-algebraico entre Euler y Diderot es seguramente falsa, y además inverosímil. La popularidad de la anécdota espuria se debe, probablemente, a que a algunos les gustaría pensar, siguiendo a Tomás de Aquino, que las mentes más poderosas llegan a la idea de Dios mediante el puro raciocinio. En esta línea, me viene a la memoria un viejo relato de ciencia ficción tan tramposo como significativo: En busca de San Aquino, de Anthony Boucher (es fácil encontrarlo en la red).

Un nuevo objeto geométrico

Ahora vendría una segunda parte relacionada con lo anterior; pero, por una vez, podemos y debemos dar paso a la más rabiosa actualidad en esta sección atemporal. No os perdáis el fascinante artículo de Clara Grima publicado en esta misma página: Hemos descrito un nuevo objeto geométrico y lo llevas puesto. El nuevo objeto geométrico se llama escutoide (en honor de su descubridor, Luisma Escudero), y su hallazgo va unido a un inspirado “retorcimiento” (tanto conceptual como físico) de los prismas epiteliales que recuerda, por su brillantez e importancia, al histórico retorcimiento de la doble hélice del ADN.

Sin entrar en detalles (que encontraréis magistralmente expuestos en el artículo de Grima), el punto de partida lo constituyen los diagramas de Voronoi. Dado un recinto plano en el que hay marcados varios puntos (llamémoslos impropiamente centros), un diagrama de Voronoi es una división del plano en tantas zonas como centros, tales que todos los puntos de una zona están más cerca de su centro que de cualquier otro.

Los diagramas de Voronoi planos (aplicables, pongamos por caso, a la distribución homogénea de las farmacias de una ciudad, que es uno de los ejemplos clásicos) son los más conocidos, pero también los hay sobre superficies curvas y en tres o más dimensiones. Las aplicaciones de los diagramas de Voronoi son innumerables, y van desde la epidemiología a la geometría computacional pasando por el fútbol, y en la naturaleza los encontramos por doquier.

Y hablando de naturaleza, ¿tienen algo que ver los panales de las abejas con los diagramas de Voronoi? ¿Cómo y por qué consiguen las industriosas abejitas sus elegantes y eficientes estructuras céreas? ¿Qué problema de máximos y mínimos resuelven como quien no quiere la cosa?

Pero antes, y hablando de hexágonos, un ejercicio trivial para entrar en materia: dibuja el diagrama de Voronoi de los vértices de un hexágono inscrito en una circunferencia. ¿Qué regla general se desprende de este sencillo ejercicio? 

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.

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