Euler contra Diderot

Vimos la semana pasada algunas de las distintas configuraciones hombres-mujeres que podíamos encontrar alrededor de una mesa: 2 en el caso de un solo comensal, 3 con dos comensales, 4 con tres comensales, 6 con cuatro comensales…

Con cinco comensales, las posibilidades son 8: cinco hombres, cinco mujeres, cuatro hombres y una mujer, cuatro mujeres y un hombre, tres hombres y dos mujeres juntas, tres hombres y dos mujeres separadas, tres mujeres y dos hombres juntos, tres mujeres y dos hombres separados.

Con seis comensales hay 13 posibilidades, y con siete, 20, con lo que tenemos la secuencia: 2, 3, 4, 6, 8, 13, 20… Es relativamente sencillo hallar una pauta si el número de comensales es primo (ver comentarios de la semana pasada), pero no tanto cuando es un número cualquiera.

En cuanto a las distintas maneras en que 6 personas pueden sentarse alrededor de una mesa, es un clásico de la matemática recreativa. Si se pusieran en fila, cualquiera de las 6 personas podría ponerse en primer lugar, cualquiera de las 5 restantes podría ponerse a continuación, cualquiera de las 4 restantes podría ocupar el tercer lugar en cualquiera de las 30 posibles parejas iniciales…, con lo que el número total de posibilidades sería 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 720, que en matemáticas se denomina factorial de 6 y se expresa así: 6!

Si cerramos estas 720 filas formando círculos y consideramos que en cada caso el primero de la fila ocupa la cabecera de la mesa, seguimos teniendo 720 posibilidades; pero si, al igual que en la Mesa Redonda de Camelot, consideramos que todos los sitios son equivalentes y que, por tanto, dos configuraciones superponibles por rotación son iguales, hay que dividir por 6 el número de filas (¿por qué?), y el número de “mesas” distintas será 720/6 = 120, o lo que es lo mismo, 5!

A partir de aquí, la cosa se puede complicar tanto como se quiera introduciendo condiciones adicionales, y a la que nos descuidemos nos encontraremos, como le ha ocurrido a uno de nuestros lectores habituales, con el famoso número e de Euler (ver comentarios de la semana pasada). Y hablando de Euler…

Ni cierto ni bien pensado

Se cuenta que, a mediados del siglo XVIII, cuando estaba en San Petersburgo, en la corte de Catalina la Grande, Leonhard Euler se enfrentó públicamente al filósofo francés Denis Diderot, que estaba de paso por la ciudad. Euler lo citó en la Academia de Ciencias y, ante la emperatriz y sus cortesanos, le dijo: “Monsieur Diderot: (a + bⁿ)/n = x, donc Dieu existe. Répondez!”. Diderot no supo qué contestar, y Euler, para avergonzarlo aún más, le planteó el siguiente problema: “Mi mujer escribió un número entero de menos de treinta cifras terminado en 2; yo borré el 2 del final y lo puse al principio, y el número resultante era el doble del que había escrito mi mujer. ¿Qué número escribió?”. Diderot, confuso y aturdido, farfulló una excusa y se marchó corriendo.

A pesar de su popularidad, la anécdota es seguramente falsa, y en este caso ni siquiera podemos decir aquello de se non è vero è ben trovato, pues no refleja la personalidad de Euler ni la de Diderot. El gran matemático no habría intentado probar la existencia de Dios -o confundir a un ateo- con un argumento tan burdo, y el gran enciclopedista, buen conocedor de las matemáticas, no se habría amilanado ante tan peregrino desafío. En cualquier caso, les paso la pregunta a mis sagaces lectoras/es: ¿Qué número escribió, supuestamente, la mujer de Euler? Y, ya puestos, ¿por qué escogió (supuestamente) Euler esa fórmula para “demostrar” la existencia de Dios? ¿Y por qué ha alcanzado tanta difusión esta anécdota, pese a que seguramente no solo es falsa, sino además inadecuada?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.