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El arte (combinatoria) de sentarse a la mesa

La disposición de los comensales en una mesa plantea problemas más complejos e interesantes de lo que puede parecer a primera vista

Ilustración de la app 'Alice's Adventures in Wonderland'.
Ilustración de la app 'Alice's Adventures in Wonderland'.

Un hexágono convexo se puede dividir en triángulos, mediante diagonales que no se corten entre sí, de 14 formas distintas, con lo que la secuencia de los números de Catalan, de la que hablábamos la semana pasada, es:

1, 2, 5, 14, 42, 132…

El arte (combinatoria) de sentarse a la mesa

La pauta que sigue esta secuencia no es fácil de deducir, pues su n-simo término viene dado por la fórmula Cn = (2n)!/(n+1)!n!

Así, el 3er término de la sucesión es 6!/4!3! = 6x5x4x3x2/4x3x2x3x2 = 5.

Los números de Catalan aparece con frecuencia en los problemas de combinatoria y/o ayudan a resolverlos, como veremos en futuras entregas.

Alrededor de la mesa

Y hablando de combinatoria, nuestro “usuario destacado” Francisco Montesinos propuso un interesante problema (ver comentario 2 de la semana pasada) del que a continuación ofrezco una versión muy simplificada, como primer paso para quienes deseen profundizar en el tema:

¿Cuántas configuraciones hombres-mujeres diferentes podemos encontrar alrededor de una mesa?

Con un solo comensal, solo hay 2 posibilidades: un hombre o una mujer.

Con dos comensales, hay 3 posibilidades: dos hombres, dos mujeres, un hombre y una mujer.

Con tres comensales, hay 4 posibilidades: tres hombres, tres mujeres, dos hombres y una mujer, dos mujeres y un hombre.

Con cuatro comensales hay 6 posibilidades: cuatro hombres, cuatro mujeres, tres hombres y una mujer, tres mujeres y un hombre, dos hombres y dos mujeres sentados alternadamente (el consabido chico-chica-chico-chica protocolario), dos hombres y dos mujeres sentados no alternadamente. (Se consideran configuraciones iguales las que se pueden superponer por rotación; por eso este es el primer caso en que un determinado número de hombres y mujeres da lugar a dos configuraciones distintas).

¿Y con cinco comensales? ¿Y con seis? ¿Qué pauta sigue la secuencia?

Los problemas sobre personas sentadas alrededor de una mesa son un clásico de la matemática recreativa. Veamos algunos ejemplos sencillos como recordatorio o introducción al tema:

Tres parejas heterosexuales: Antonio y Berta, Carlos y Diana, Ernesto y Fátima, se sientan alrededor de una mesa redonda. ¿De cuántas maneras distintas pueden hacerlo? (Al igual que antes, no se consideran distintas las configuraciones superponibles por rotación).

¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse de forma que Carlos y Diana, que están enfadados, no estén juntos?

¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse respetando la alternancia protocolaria (chico-chica-chico-chica…)?

¿De cuántas maneras distintas pueden saltarse dicha alternancia protocolaria?

¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse con todos los hombres a un lado y todas las mujeres al otro?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.

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