Poliedros regulares no convexos

Uniendo los puntos medios de las caras de un tetraedro, como vimos la semana pasada, obtenemos su dual, que es otro tetraedro cuyo volumen es 1/27 del volumen del primero (por semejanza de triángulos, es fácil ver que su arista es 1/3). Pero solo en este caso el dual de un poliedro regular es otro poliedro del mismo tipo (dos poliedros son duales o conjugados si el número de vértices del primero coincide con el número de caras del segundo y viceversa).

El dual de un cubo es un octaedro, y el del octaedro, un cubo. Así que una forma sencilla de obtener otro cubo uniendo puntos, a partir de un cubo inicial, es trazar el dual de dicho cubo, que es un octaedro, y luego el dual del dual, que será un cubo de volumen igual a 1/27 del volumen del cubo mayor (la visión cenital de la figura permite ver que el lado del cubo menor es 1/3 del lado del mayor).

Si unimos los puntos medios de los lados de un hexágono regular, obtenemos otro hexágono regular cuya área es 3/4 del área del hexágono inicial. Tomando como unidad el lado del hexágono (que es igual al radio de la circunferencia circunscrita), el lado del triángulo equilátero obtenido uniendo vértices alternos es √3, por lo que el lado del hexágono menor será √3/2 (es fácil verlo por semejanza de triángulos), y de ahí que la razón de superficies sea 3/4. ¿Qué nos dice la secuencia 1/4, 1/2, 3/4…?

Cortando un cubo por un plano perpendicular a una de sus diagonales en su punto medio, obtenemos un hexágono regular. La ilustración de la semana anterior da una pista, pues la silueta de un cubo dibujado en perspectiva en una pizarra o un papel, es un hexágono.

Solo los triángulos equiláteros, los cuadrados y los pentágonos regulares pueden formar poliedros regulares convexos, puesto que en un vértice han de confluir al menos tres caras, y tres ángulos de un hexágono regular suman 360º, es decir, forman un plano; por tanto, solo sirven los tres polígonos regulares con ángulos menores que los del hexágono.

Poliedros de Kepler-Poinsot

Hubo que esperar dos mil años para que la familia de los poliedros regulares se ampliara con cuatro nuevos miembros, los poliedros regulares no convexos: el pequeño dodecaedro estrellado, el gran dodecaedro estrellado, el gran dodecaedro y el gran icosaedro.

La primera representación conocida del pequeño dodecaedro estrellado es un mosaico de Paolo Ucello en la Basílica de san Marcos, en Venecia, fechado en 1430.

Sus 12 caras son pentagramas que se cortan, y en cada vértice confluyen cinco de ellas. La disposición de sus vértices coincide con la de un poliedro regular convexo. ¿Cuál?

El gran dodecaedro estrellado también está formado por 12 caras pentagramáticas cruzadas, pero en este caso confluyen tres de ellas, y no cinco, en cada vértice. La disposición de sus vértices también coincide con la de un poliedro regular convexo. ¿Cuál?

El gran dodecaedro tiene 12 caras que son pentágonos regulares (paralelos dos a dos) que se cortan, y en cada vértice coinciden cinco de ellos.

El gran icosaedro consta de 20 caras triangulares que se cortan, y en cada vértice coinciden cinco de ellas.

Los cuatro poliedros regulares no convexos fueron redescubiertos y estudiados por Kepler en el siglo XVI, y luego por Louis Poinsot a principios del XIX, por lo que se denominan sólidos de Kepler-Poinsot.

Invito a mis sagaces lectoras/es a examinar estos fascinantes cuerpos geométricos y a señalar algunas de sus características más notables.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.