La física que ilumina el billar a tres bandas

Hablando de choques elásticos especulares, lo más parecido al impacto de una bola de billar contra una banda de la mesa son los de las pelotas de tenis contra la cancha, que vimos en la entrega anterior. Como comentamos entonces, la probabilidad de que al dirigir el haz de una linterna a una pared se forme sobre ella el consabido círculo de luz es, paradójicamente, nula. En efecto, para que la mancha de luz sea un círculo perfecto, el eje de la linterna (o sea, de su cono de luz) ha de ser perpendicular al plano, y puesto que sus posibles ángulos de incidencia son infinitos, la probabilidad de que dicho ángulo sea exactamente de 90° es cero.

Podemos tener la certeza de que la mancha de luz de la linterna será una elipse; aunque no la certeza matemática, pues si la linterna se inclina lo suficiente como para que una generatriz de su cono de luz sea paralela a la pared (ver ilustración de la entrega anterior), se formará una parábola. Eso significa que si la apertura del haz luminoso es de unos 30°, habrá que inclinar la linterna unos 75° respecto a la perpendicular para que la elipse se abra y se convierta en parábola.

Pasando de la huella blanca de la linterna a la huella negra del ojo de halcón, se impone una consideración pragmática previa: si la huella no se correspondiera exactamente con la zona de contacto de la pelota con la pista, no tendría validez arbitral, pues a menudo la diferencia entre el in y el out es cuestión de milímetros. ¿Cómo genera el ojo de halcón la imagen de impacto a partir de la información sobre la velocidad y la trayectoria de la pelota suministrada por diez cámaras estratégicamente situadas? No he tenido ocasión de estudiar el asunto a fondo, pero podría ser un asunto interesante para futuras entregas.

Si la pelota de tenis atravesara limpiamente y sin resistencia el plano de la pista, formaría un agujero elíptico cuyo eje menor sería igual al diámetro de la bola y cuyo eje mayor sería tanto más largo cuanto más oblicua fuera la trayectoria de impacto. A no ser que incidiera verticalmente, en cuyo caso el agujero sería un círculo de diámetro igual al de la bola. Por simetría especular, cabe imaginar que un choque perfectamente elástico produciría la misma huella que una perforación ideal del plano. Pero el choque de una pelota de tenis real no es perfectamente elástico, por no hablar del efecto (Magnus), por lo que tal vez la perfecta elipse negra del ojo de halcón no sea tan exacta, lo que, en algún caso límite, podría haber dado lugar a alguna injusticia arbitral.

¡Carambola!: del tenis al billar

Una analogía en el mundo real nos lleva de la cancha de tenis al salón de billar. Cuando una bola de billar (sin efecto) contra una banda de la mesa, que se refleja igual que un rayo de luz en un espejo plano, por lo que es inevitable recordar el consabido problema billarístico clásico: ¿en qué punto de la banda inferior ha de incidir la bola A para golpear de lleno a la bola B? ¿Y si antes de alcanzar la bola B, la A ha de tocar dos bandas, la inferior y la de la derecha? Más difícil todavía: ¿cuál es el camino más corto por el que la bola A puede chocar con la B tras tocar tres de las bandas?

Si en vez de una mesa de billar normal (rectangular) las bolas estuvieran en una mesa circular, tendríamos un versión billarística del conocido problema del espejo circular de Alhacén, el gran matemático, físico y astrónomo árabe del siglo XI, famoso por sus trabajos de catóptrica (óptica de los espejos) y considerado uno de los principales precursores del método científico. Pero ese es otro artículo.

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