¿En qué momento de su vaciado será más estable una lata de cerveza?

La probabilidad de que una persona concreta celebre su cumpleaños la misma semana que tú es, obviamente, 1/52 (si entendemos por “la misma semana” el mismo intervalo de lunes a domingo; si hablamos de cumpleaños no separados por más de siete días la probabilidad es prácticamente el doble). Pero que dos personas, cualesquiera de un grupo de siete cumplan años la misma semana, como se planteó en la entrega anterior, es mucho mayor, en contra de lo que sugiere la intuición. Y mayor aún es la probabilidad de que dos de ellas compartan sigo zodiacal.

Como en otros problemas de este tipo, es más fácil calcular la probabilidad de que algo no ocurra para determinar su probabilidad complementaria. Centrémonos en el caso zodiacal, de idéntico planteamiento que el semanal, pero con números más manejables. Empecemos por numerar arbitrariamente a las personas del 1 al 7. La probabilidad de que la 2 no sea del mismo signo que la 1 es 11/12; la probabilidad de que la 3 no sea del mismo signo que la 1 ni la 2 es 10/12…, y la probabilidad de que la 7 no sea del mismo signo que ninguna de las otras 6 es 6/12. Por lo tanto, la probabilidad de que ninguna de esas coincidencias ocurra será:

11/12 x 10/12 x 9/12 x 8/12 x 7/12 x 6/12 = 0,11 aprox.

Así pues, la probabilidad de que sí que haya al menos dos personas del mismo signo será la complementaria, o sea, de casi el 90%. La próxima vez que, en una pequeña reunión, dos personas magufas vean una señal del destino en la extraordinaria coincidencia de compartir signo zodiacal, puedes fastidiarlas con el inapelable veredicto de las matemáticas (o no).

Por el mismo procedimiento, aunque con operaciones algo más engorrosas, puedes comprobar que la probabilidad de que en un grupo de 23 personas haya al menos dos que celebren su cumpleaños el mismo día es ligeramente superior al 50% (es la conocida como “paradoja del cumpleaños” por su resultado contraintuitivo).

También en el caso de las cartas que vamos nombrando al ponerlas sobre la mesa, es más fácil calcular la probabilidad de que ninguna coincida con su invocación, pues para cada una esa probabilidad es 39/40. Por lo tanto, la probabilidad de que ninguna carta coincida con su nombre será de 39/40 a la potencia 40, aproximadamente 0,363. En consecuencia, la probabilidad de que al menos una carta aparezca al nombrarla es 1 – 0,363 = 0,637 aproximadamente. Dos de cada tres veces que lo intentes, al menos una de las cartas aparecerá “mágicamente” al decir su nombre.

Un triángulo isósceles y una lata de cerveza

La intuición no solo puede engañarnos haciendo que lo probable parezca improbable, sino también al estimar el nivel de dificultad de un problema. Veamos un par de ejemplos (que aparentemente —solo aparentemente― no tienen nada que ver el uno con el otro):

1. Dado un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 10 cm, ¿cuánto ha de medir el tercer lado para que su área sea máxima? Parece un típico problema de máximos y mínimos que se resuelve expresando el área del triángulo en función del tercer lado y derivando la función. Y lo parece porque lo es; pero, con un poco de ingenio, se puede resolver sin recurrir al cálculo diferencial.

1. En una lata de cerveza llena, si la consideramos perfectamente cilíndrica y homogénea, el centro de gravedad es el punto medio del eje del cilindro. A medida que se va vaciando, el centro de gravedad va bajando y el equilibrio de la lata sobre su base se vuelve, por tanto, más estable (como para compensar la presumible pérdida de estabilidad del consumidor de su contenido). Pero, una vez vacía del todo, el centro de gravedad de la lata vuelve a estar en el punto medio de su eje, por lo que ha de haber un momento del vaciado en el que dicho centro llega a su punto más bajo, momento a partir del cual vuelve a subir. Si la lata mide 20 cm de altura, pesa 45 g cuando está vacía y cuando está llena contiene 360 g de cerveza, ¿cuánta cerveza hay en la lata en el momento en que el centro de gravedad está a menor altura?

De nuevo perece un problema a resolver echando mano del cálculo diferencial, y así lo resolvió Walter B. Roberts, de la Universidad de Princeton, al planteárselo durante una merienda campestre; pero luego (y, es de suponer, una vez disipados los vapores del contenido de la lata) se dio cuenta de que se podía resolver fácilmente sin funciones ni derivadas.

Los dos problemas anteriores no parecen tener relación alguna; sin embargo (y esta es una buena pista para el segundo, más difícil que el primero) los dos requieren un mismo cambio de perspectiva para su resolución. Literalmente, se trata de contemplarlos desde distinto ángulo.

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