Puentes problemáticos

El problema de la escalera desvencijada propuesto la semana pasada es una variante de los clásicos acertijos en los que hay que cruzar un río con una barca cumpliendo ciertos requisitos (como el famoso del pastor con un lobo, una oveja y una col), solo que el río ha sido sustituido por una escalera y la barca por una linterna, y con el añadido del factor velocidad. Lo cual invita a plantear el siguiente metaproblema: ¿cómo sería el problema de la escalera en términos fluviales? Dicho de otra manera: ¿se te ocurre un planteamiento equivalente con un río y una barca en lugar de una escalera y una linterna? No se trata de plantear un problema similar, sino rigurosamente equivalente. La solución dada por David Fernández al problema de la escalera puede facilitar el “cambio de variables”:

“Lo ideal en el problema de la linterna es que las dos personas más lentas bajen juntas, ahorrándose 4 minutos, y que ninguna de las dos tenga que subir a entregar la linterna (en caso contrario, no ahorraríamos nada). Para ello las dos personas más rápidas han de bajar primero. La secuencia sería: bajan las dos más rápidas, 2 min, sube una de las dos y entrega la linterna a las dos más lentas, 8 min, sube la otra persona más rápida y vuelven a bajar las dos más rápidas, 2 min: 12 min de bajada más 3 de subida son 15 min”.

La adaptación del tapón de corcho también ha suscitado numerosos e interesantes comentarios. La solución más práctica es la que apareció en su día en la revista Mecánica Popular, que consiste en quitarle al tapón un sector cilíndrico (o troncocónico) mediante un par de cortes verticales (con un cuchillo bien afilado para que el corcho no se desmenuce) como los que se indican en la figura. Al extraer la cuña y apretar el cocho entre los dedos para unir las caras internas del corte, el diámetro del tapón disminuye ligeramente.

Otra solución menos práctica, pero interesante desde el punto de vista teórico, consiste en comprimir el corcho sumergiéndolo a varios metros bajo el agua (a solo10 m de profundidad la presión ya es de 2 atmósferas). Como dato curioso, el corcho es tan comprimible que si se sumerge a gran profundidad ya no vuelve a la superficie, pues su densidad se iguala a la del agua circundante y deja de flotar.

Geometría —y física— de la posición

El problema de la escalera y la linterna es una adaptación edilicia (valga el argentinismo) del conocido como “acertijo del puente y la antorcha” (que periódicamente se hace viral y tiene su propia entrada en Wikipedia), lo cual es un buen pretexto para abordar otros problemas de puentes.

El más conocido, huelga señalarlo, es el de los siete puentes de Königsberg, cuya ingeniosa resolución por parte de Euler se podría decir que inauguró la teoría de grafos. Y, de paso, también dio un notable impulso a lo que acabaría llamándose topología, es decir, al estudio de aquellas propiedades estructurales de los objetos geométricos que son independientes de sus medidas y formas concretas (que el propio Euler denominó geometria situs, geometría de la posición). Por cierto, en la actualidad solo hay cinco puentes en Kaliningrado (que es el nuevo nombre de la antigua Königsberg), y ahora sí que es posible empezar el recorrido en una isla y acabarlo en otra, aunque no se puede completar un ciclo euleriano, es decir, empezar y terminar el recorrido en un mismo punto. Con estos datos, ¿podrías situar en un croquis de Kaliningrado sus cinco puentes actuales?

Y de la geometría a la física de la posición, concretamente de la problemática posición de un malabarista sobre un puente poco seguro:

Un malabarista se dispone a cruzar un puente muy frágil, que solo soporta un máximo de 50 kilos. El malabarista es muy menudo, solo pesa 48 kilos, pro sus tres bolos de malabares pesan un kilo cada uno. “No hay problema -piensa el malabarista-, cruzaré lanzando al aire los bolos, de modo que siempre habrá al menos uno en el aire y en ningún momento el puente soportará más de 50 kilos”. ¿Te parece una buena idea? ¿Se te ocurre una solución alternativa?

Invito a mis sagaces lectoras y lectores (a no ser que padezcan gefirofobia) a buscar y proponer otros problemas de puentes, un tema, por lo que sé, poco explotado a pesar de que, en principio, podría dar mucho juego, tanto a nivel lógico-matemático como físico.

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