Alrededor de la mesa

El octavo término de la sucesión de Sylvester, como vimos la semana pasada, tiene 27 cifras, y, como empieza por 1 y cada término es aproximadamente el cuadrado del anterior, el noveno término tendrá 2 x 27 – 1 = 53 cifras.

En cuanto a la serie de los inversos de los términos de la sucesión de Sylvester, he aquí lo que comenta Salva Fuster:

“Partimos de un cuadrado de área 1 y vamos haciendo filas de cuadrados lo más grandes posibles, pero con la condición de que cada nueva fila no complete el cuadrado inicial.

De este modo tenemos:

- Fila 1: 2 cuadrados de lado 1/2. No podemos coger un único cuadrado de lado 1, pues se completa el cuadrado inicial.

- Fila 2: 3 cuadrados de lado 1/3 (1/2+1/3 es menor que 1). No podemos coger de nuevo dos cuadrados de lado 1/2, pues se completa el cuadrado inicial.

- Fila 3: No podemos coger cuadrados de 1/4, ni de 1/5, ni de 1/6, pero sí de 1/7, que es el mayor tamaño posible que sigue siendo menor que 1 (1/2+1/3+1/7=41/42).

- Al seguir, los tamaños vienen determinados por los inversos de la sucesión de Sylvester.

Por lo tanto, la suma de los inversos de la sucesión de Sylvester tiende a 1″.

Y eso es precisamente lo que nos dice gráficamente la figura-pista de la semana pasada.

Y con respecto a la posibilidad de expresar cualquier número racional en forma de fracción egipcia, he aquí el comentario de Manuel Amorós:

“Queremos expresar p/q como fracción egipcia. Siendo p menor q.

q = pn+r

1/(q/p) = 1/(n+r/p)

1/(n+1) < 1/(q/p) < 1/n

p/q = 1/(n+1)+A

A = p/q-1/(n+1) = (p-r)/(q(n+1))

El numerador de la fracción A es menor que el inicial. Si seguimos aplicando el procedimiento llegará un momento que todos los sumandos tendrán numerador 1″.

La consabida mesa redonda

En el último momento, apareció en la sección de comentarios un interesante problema sobre el viejo tema de los comensales que se sientan alrededor de una mesa:

Tenemos una mesa redonda con n sillas equiespaciadas en las que van a sentarse n personas. Las personas están ordenadas en fila para ir sentándose secuencialmente. La primera se sienta en una silla cualquiera, la segunda se sienta a distancia 1 de la primera hacia su izquierda (o sea, al lado de la primera), la tercera se sienta a distancia 2 de la segunda también hacia la izquierda, y así sucesivamente.

Encontrar los valores de n para los que se pueden sentar todos los comensales cumpliendo las condiciones.

Pero antes abordemos uno más fácil, para ir calentando neuronas:

¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse alrededor de una mesa tres matrimonios mal avenidos de manera que nadie esté al lado de su cónyuge? ¿Y si, además de mal avenidos, son matrimonios heterosexuales y se quiere mantener la tradicional alternancia chico-chica? ¿Y si en vez de tres matrimonios son cuatro, cinco, seis…?

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