La pintura renacentista que creó una nueva geometría

Alberto Durero, nacido en Nuremberg un 21 de mayo de 1471, está universalmente considerado como uno de los grandes pintores pioneros del Renacimiento —como Giotto, Piero de la Francesca o Alberdi—, que desarrollaron una nueva manera de pintar basada en la perspectiva, o “construzione legittima”, según la denominaron. Para entender por qué funcionaba tan bien esta nueva forma de representar la realidad fue necesario crear una nueva geometría.

Hijo de un destacado orfebre, Durero mostró, ya de niño, una asombrosa disposición para el dibujo, que le permitió ingresar como aprendiz en un prestigioso taller de grabados de Nuremberg. Siendo muy joven viajó a Bolonia donde aprendió, posiblemente del matemático Luca Pacioli y del pintor y arquitecto Bramante, los principios de la perspectiva lineal.

Eran tiempos de grandes hallazgos, y los artistas italianos habían puesto su atención en las matemáticas y la anatomía para representar el espacio y las formas del cuerpo humano. Durero sostenía que la geometría y las medidas precisas son la clave para comprender el arte clásico. Entre sus publicaciones destacan Los cuatro libros de la medida y Los cuatro libros sobre las proporciones humanas, que contienen diversas construcciones de polígonos regulares y poliedros, así como, según allí se afirma, los cuatro tipos diferentes de figuras femeninas y masculinas, cuyas dimensiones corporales están expresadas como fracciones de la altura total.

Durero sostenía que la geometría y las medidas precisas son la clave para comprender el arte clásico; eran tiempos de grandes hallazgos, y los artistas italianos habían puesto su atención en las matemáticas y la anatomía

Las matemáticas están muy presentes en su obra. Su grabado Melancolía I contiene un cuadrado mágico 4x4 en el que todos los números entre 1 y 16 aparecen dispuestos de manera que las sumas de sus filas, columnas y diagonales es siempre 34.

Aunque Durero no hizo ningún descubrimiento geométrico original, fue de los primeros en describir la perspectiva en términos de los Elementos de Euclides: la imagen pintada es una proyección de la realidad en el lienzo, cuyo centro está situado en el ojo del pintor. Todas las líneas de profundidad se encuentran en ese punto de vista y el cuadro es el resultado de la intersección del plano del cuadro con el cono visual, formado por las líneas que unen el punto de vista con las figuras representadas.

En este enfoque, las paralelas, sea cual sea su orientación, se unen en su punto de fuga ubicado en el horizonte, es decir, sobre la recta horizontal que pasa por el punto de intersección con el cuadro de la perpendicular trazada desde el punto de vista.

El método de Durero y otros genios del Renacimiento fue posteriormente enriquecido añadiéndole la perspectiva en la dirección vertical, o aérea

En este proceso pictórico tanto las longitudes como los ángulos sufren distorsiones, sin embargo, la escena original resulta siempre muy reconocible. Para explicarlo, grandes matemáticos como Girard Desargues y Blaise Pascal, primero, y Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelet, después, crearon una nueva geometría —la geometría proyectiva—, caracterizada precisamente porque, en ella, las rectas paralelas tienen un punto en común: el punto del infinito.

Desargues consideró un objeto matemático muy sencillo, como es un triángulo, y se preguntó qué era suficiente para que dos triángulos estuvieran en perspectiva. Como respuesta dio un lindo teorema: “La proyección de un triángulo de vértices ABC desde un punto de mira O es el triángulo A´B´C´ si, y solo si, las rectas que contienen los lados correspondientes se cortan en puntos alineados”.

Que al prolongar los lados correspondientes AB y A´B´ se corten en un punto P, AC y A´C´ en Q, y BC y B´C’ en R, es algo sencillo de ver, pero lo sorprendente es que los tres puntos P, Q y R yazcan en una misma línea recta del espacio y que, además, eso sea razón suficiente para que los dos triángulos estén en perspectiva.

En los siguientes años, se desarrolló el método, obteniendo teoremas muy bellos e interesantes que han dado lugar a la geometría proyectiva. En las proyectividades, las rectas se transforman en rectas, pero, en general, las distancias y los ángulos no se conservan. Ocurre, no obstante, que sí se mantiene la llamada razón doble de cuatro puntos alineados: (A, B, C, D) = (CA/CB)/(DA/DB). De manera que si tenemos otra cuaterna de puntos situados en una misma recta A´, B´, C´, D´, y queremos saber si estos últimos pueden ser la imagen de los primeros por una proyectividad, basta con comprobar que dos números coinciden, a saber, que tienen la misma razón doble.

Los matemáticos trataron de encontrar otros invariantes proyectivos, como la razón doble, lo que llevó, siglos más tarde, a la formulación abstracta de la geometría del programa de Erlangen de Felix Klein: el espacio es ahora cualquier conjunto en el que se haya definido un grupo de transformaciones, siendo la búsqueda de los invariantes la principal tarea de los geómetras. Ese empeño, a hombros de gigantes como Carl Friedrich Gauss, Bernhard Riemann y tantos otros, nos conduciría a la relatividad general y a las modernas teorías cosmológicas.

El método de Durero y de los otros genios del Renacimiento fue posteriormente enriquecido añadiéndole la perspectiva en la dirección vertical, o perspectiva aérea. Luego los cubistas lo deconstruyeron introduciendo diversos puntos de vista en distintas partes del mismo cuadro, lo que nos llevaría a Picasso y al concepto moderno de variedad topológica.

Antonio Córdoba es catedrático emérito de la Universidad Autónoma de Madrid, miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas y académico de honor de la Academia de Ciencias de la Región de Murcia.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

Puedes seguir a MATERIA en Facebook, Twitter e Instagram, o apuntarte aquí para recibir nuestra newsletter semanal.