La conjetura de Collatz

El diámetro del Sol es unas 400 veces mayor que el de la Luna, y, casualmente, su distancia a la Tierra también es unas 400 veces mayor, por lo que el tamaño aparente de ambos discos, el solar y el lunar, es prácticamente igual, lo que hace posible que, en los eclipses solares, la Luna oculte por completo el Sol y permita ver su corona.

Si las órbitas de la Tierra alrededor del Sol y de la Luna alrededor de la Tierra fueran perfectamente circulares, no habría variaciones en los tamaños aparentes de los discos solar y lunar y todos los eclipses serían iguales. Pero, como recordábamos la semana pasada, y debido a que ambas órbitas son ligeramente elípticas, la distancia de la Tierra a la Luna varía, en números redondos, entre 360.000 y 400.000 kilómetros, y la de la Tierra al Sol entre 147 y 152 millones de kilómetros. Siempre que la Luna esté cerca del perigeo (punto de su órbita más próximo a la Tierra) ocultará por completo al Sol en un eclipse, ya que la distancia de nuestra estrella siempre es mayor que 360.000 x 400 = 144 M km. Pero si la Luna está próxima al apogeo, la relación de distancias es menor que la relación de diámetros, y por tanto la Luna no ocultará por completo al Sol, con la consiguiente aparición del “anillo de fuego” alrededor del disco lunar. El máximo anillo se produciría cuando coincidieran el apogeo y el perihelio, es decir, con la Luna a unos 400.000 km de la Tierra y el Sol a unos 147 M km; en este caso, la relación de distancias sería aproximadamente un 8 % menor que la relación de diámetros, por lo que el ancho del anillo sería de unos 57.000 km. 

Otra conjetura escurridiza

Lo de “otra” es en referencia a la de Goldbach, pues la conjetura de Collatz es igualmente fácil de formular e igualmente difícil de demostrar. Como refiere Pablo Candela en un reciente artículo publicado en esta misma página (en la muy recomendable sección Café y teoremas, coordinada por Ágata Timón), el matemático Terence Tao acaba de lograr un importante avance en el camino hacia la resolución de esta conjetura formulada en los años treinta del siglo pasado por Lothar Collatz, según la cual, dado un número natural cualquiera, si le aplicamos repetidamente una sencilla transformación que consiste en dividirlo por 2 si es par y multiplicarlo por 3 y sumarle 1 si es impar, siempre acabaremos obteniendo 1 como resultado final, sea cual fuere el número de partida. Para los diez primeros números naturales, las respectivas secuencias de Collatz son:

1

2, 1

3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

4, 2, 1

5, 16, 8, 4, 2, 1

6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

8, 4, 2, 1

9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Un amigo matemático ha observado que todos los números naturales (excepto los casos más sencillos que llevan directamente al 1) llegan en su secuencia de Collatz a un múltiplo de 16, y que es fácil demostrar que todo múltiplo de 16 lleva al 1. ¿Qué opinan al respecto mis sagaces lectoras/es?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal