Primer avance en décadas en un problema aparentemente imposible

En los años 1930, el matemático alemán Lothar Collatz observó un fenómeno curioso experimentando con números enteros. Parecía una propiedad sencilla, pero la demostración general, que permitiría afirmar que todos los números cumplen esa propiedad, se le resistía. Empezó a difundir el problema entre sus colegas, pero nadie podía resolverlo. En 1950 la ciudad de Cambridge en Massachusetts (EE UU) acogió el Congreso Internacional de Matemáticos, el primero después de la Segunda Guerra Mundial, y Collatz aprovechó la ocasión para compartir el problema entre los asistentes. La popularidad del enigma fue en aumento, en particular en EE UU, donde cautivó y derrotó a grupos enteros de investigadores. Esto suscitó una broma recurrente, según la cual el problema, que pasó a conocerse como la conjetura de Collatz, era parte de un complot para retrasar la investigación matemática estadounidense. Uno de los mayores expertos en la cuestión, Jeffrey Lagarias, cuenta que el famoso matemático Paul Erdős declaró que “las matemáticas aún no están preparadas para tales problemas”. Sin embargo, hace unos meses, Terence Tao desafió esta afirmación, haciendo el primer avance importante en décadas.

La formulación de la conjetura es muy simple. Dado un número entero positivo x cualquiera, se aplica la siguiente operación (que se suele denominar función C): si x es par se divide entre 2; si x es impar se multiplica por 3 y se suma 1. El resultado es un nuevo número, C(x). Se puede repetir esta misma operación con C(x), obteniendo otro número C(C(x)), y así sucesivamente. Por ejemplo, empezando con el número 12, aplicando este proceso se obtienen los números 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2 ,1, etc. La conjetura de Collatz dice que, sea cual sea el número x inicial, tras un número finito de repeticiones de la operación se llega a 1. Hay varios sitios web donde se puede experimentar con la conjetura.

Hasta ahora, se han obtenido solo resultados parciales que apoyan la conjetura

Las iteraciones de la función C se pueden imaginar como un proceso en el cual cada número entero x se va moviendo como una partícula en un sistema físico: en el instante inicial 0 el número x está fijo; en el instante 1, x se ha movido a C(x); en el instante 2 se ha movido a C(C(x)), etc. Cada número x tiene su propia trayectoria, dada por su conjunto de valores sucesivos x, C(x), C(C(x)), etc. La dificultad de la conjetura radica en que, aunque la función C sea muy simple, las trayectorias pueden ser muy diferentes de un número a otro, y en particular pueden ser muy erráticas y tardar mucho o muy poco tiempo en llegar a 1. Esta dinámica tan compleja hace que el problema siga resistiendo a todas las herramientas y técnicas conocidas de análisis.

Hasta ahora, se han obtenido solo resultados parciales que apoyan la conjetura. Por ejemplo, se ha verificado con ayuda de ordenadores que la conjetura es cierta para todo entero menor que 10¹⁸. Se pueden seguir estos avances en este enlace. Además, se han demostrado teoremas que afirman que la conjetura es “casi cierta” para “casi todos” los números enteros. Cada enunciado de este tipo da un sentido preciso a qué se quiere decir con “casi cierta” y “casi todos”. Entre tales resultados, destaca un teorema demostrado por el matemático Riho Terras en 1976. En su trabajo, Terras consideró el conjunto formado por los números positivos x que tienen la propiedad de que en su trayectoria hay algún número menor que x. Si un número x está en este conjunto, entonces la conjetura es “casi cierta” para este número, ya que su trayectoria debe pasar por debajo de x para llegar hasta 1. El teorema de Terras dice que el conjunto en cuestión tiene densidad asintótica igual a 1. Es decir, que la proporción de números enteros entre 1 y N que están en el conjunto tiende a 1 cuando N tiende al infinito, lo cual significa que “casi todos” los números enteros cumplen la propiedad indicada.

Se conocen relaciones entre la conjetura y varias áreas matemáticas

Tras décadas sin mayores avances de este tipo, en septiembre de 2019 el matemático Terence Tao (Medalla Fields en 2006) publicó un nuevo resultado significativo. En este trabajo, el sentido de “casi todos” se da también con cierta noción de densidad de conjuntos (la densidad logarítmica), pero el significado de “casi cierta” es bastante más fuerte que el de Terras. Se parte de cualquier función f(x) que tiende al infinito cuando x tiende al infinito. Un ejemplo obvio es f(x)=x, pero hay otros ejemplos que crecen mucho más lentamente al aumentar el valor de x, como la función logarítmica f(x)=log(x). Para cualquier función f de este tipo, con crecimiento tan lento como queramos, Tao ha demostrado que para casi todo número x, hay algún número en su trayectoria que no solo es menor que x (como afirma el teorema de Terras), sino que es menor que f(x). De esta manera, el teorema garantiza que la trayectoria de casi todo número x pasa por algún valor mucho menor que x. Aunque esto aún no demuestre que todas las trayectorias deben llegar a 1, el resultado es un avance marcado hacia la conjetura.

Este trabajo de Tao es interesante también por las conexiones que establece entre el problema y el área de ecuaciones diferenciales parciales, dando así una nueva muestra de las sorprendentes ramificaciones de la conjetura de Collatz. Esta riqueza es uno de los aspectos atractivos del problema: se conocen relaciones entre la conjetura y varias áreas matemáticas además de la teoría de números, como la teoría de la computación, la combinatoria y la teoría de sistemas dinámicos.

Pablo Candela es profesor en la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT).

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