El matemático que estudió las fronteras libres

No, el título de este artículo no es una provocación dirigida hacia esos ciudadanos que pretenden endurecer las leyes de inmigración. Se trata del nombre de una teoría que le ha merecido la concesión del prestigioso premio Shaw 2018 de matemáticas a Luis Caffarelli (Buenos Aires, 1948) el pasado mes de mayo. La obra de Caffarelli, profunda y revolucionaria, ha resuelto una serie de problemas llamados de “Frontera Libre” del área de las ecuaciones diferenciales.

Los modelos matemáticos que describen fenómenos provenientes de diferentes ramas de la ciencia y la tecnología tratan de magnitudes (temperatura, campo electromagnético, concentración de un componente en una aleación metálica, potencial gravitatorio,…) cuyos valores dependen de diversas variables tales como son las coordenadas espaciales y el tiempo. Las leyes que gobiernan estos sistemas (conservación de la masa, de la energía, de la cantidad de movimiento,…) suelen venir dadas por relaciones precisas entre sus tasas de variación (derivadas) temporales y espaciales (velocidades, aceleraciones, difusión, etcétera). El resultado es lo que en matemáticas llamamos una ecuación, o un sistemas de ecuaciones en derivadas parciales, cuyas soluciones queremos conocer. Algunas de las más famosas son la ecuación del calor; de las ondas; del potencial; de Schrödinger; de Einstein; de Navier-Stokes; de Black-Scholes; de Boltzmann…

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En general suelen tener muchas (infinitas) soluciones, por lo que para identificar la que nos interesa (cerrar el sistema) es necesario introducir otros datos. Un caso importante es cuando se dan los valores medidos de la magnitud, o de su flujo, en los límites del espacio en el que tiene lugar la acción (la frontera del dominio). Por ejemplo, estas ecuaciones aparecen al preguntarnos cuál es la temperatura en el interior de un cuerpo sabiendo la que tiene en su superficie, o cuál es el potencial eléctrico en el interior de un conductor si conocemos la corriente eléctrica que fluye a través de su frontera.

Pero, ¿qué ocurre cuando esta frontera del dominio es desconocida y forma parte importante de la cuestión? Estos son los problemas de frontera libre, a los que tanto ha contribuido Caffarelli. Un ejemplo es el de la “solidificación-licuefacción” en una mezcla de agua y hielo: ¿cómo es la superficie de separación entre las dos fases sólido-líquido? Otro ejemplo es el denominado “problema del obstáculo”: imaginemos una membrana elástica que hacemos descender hasta tocar a un cuerpo (obstáculo) apoyado en el interior de un recinto plano, de manera que al final del proceso la membrana queda soldada a los bordes del recinto. Habrá una zona de contacto en la que la membrana coincide con el obstáculo, mientras que fuera su forma debe satisfacer a las ecuaciones de la elasticidad: ¿cómo es la curva frontera de la zona de contacto? Son dos ejemplos que muestran la naturaleza y el interés, para la ciencia y la tecnología, de estos problemas llamados de frontera libre, así como de su dificultad intrínseca.

Hasta la aparición de los trabajos de Luis Caffarelli en los años ochenta del pasado siglo, solo se conocían resultados muy parciales. Pero Luis logró entender en profundidad estos problemas combinando métodos del Análisis Armónico con las ideas del Cálculo de Variaciones introducidas por Ennio de Giorgi y John Nash. La intuición de Caffarelli le permitió visualizar las precisas estimaciones analíticas en términos mucho más geométricos y maleables. Y también resolver otros problemas famosos que se habían resistido a varias generaciones de matemáticos, tales como son las ecuaciones no-lineales de Monge-Ampère, o la naturaleza de transiciones de fase en los modelos de campo medio formulados por Ginzburg-Landau.

Caffarelli obtuvo el doctorado en Buenos Aires (1973) y enseguida se trasladó a la Universidad de Minnesota. A lo largo de su carrera ha sido también profesor de las universidades de Chicago y Austin, y miembro del Instituto de Estudios Avanzados (Princeton) y del Instituto Courant (Nueva York). A mediados de la década de 1980 codirigimos un proyecto financiado por el Comité Conjunto Hispano-Norteamericano que nos permitió, entre otras actividades, organizar en la Universidad Internacional Menéndez Pelayo (UIMP) una semana de Ecuaciones en Derivadas Parciales. Luego creamos una Escuela de Verano de Matemáticas en esta misma universidad que tuvo un éxito notable hasta que fue interrumpida por el asesinato de Ernest Lluch, Rector de la UIMP, perpetrado por la banda terrorista ETA.

En aquellos tiempos Caffarelli también recibió el Doctorado Honoris Causa de la Universidad Autónoma de Madrid. Su vinculación con esta universidad, y su colaboración con matemáticos españoles, ha sido muy intensa y fructífera, perteneciendo, desde su fundación en 1985, al comité editorial de la Revista Matemática Iberoamericana. Además del reciente premio Shaw, considerado el nobel oriental y con una cuantía asociada de un millón de dólares, Luis Caffarelli ha sido galardonado con otros premios y honores, tales como el Wolf y el Bôcher.

Antonio Córdoba es director del ICMAT.

Edición: Ágata Timón.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.