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Euler y los 36 oficiales

El acertijo que desconcertó a uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos

Euler y los 36 oficiales

Para determinar el orden de las terminaciones en la tercera estrofa de una sextina, hacemos con la segunda lo mismo que hemos hecho con la primera, y así sucesivamente, con lo que obtenemos el siguiente esquema:

1 6 3 5 4 2

2 1 6 3 5 4

3 5 4 2 1 6

4 2 1 6 3 5

5 4 2 1 6 3

6 3 5 4 2 1

Ningún número se repite en ninguna fila, lo que quiere decir que todas las terminaciones de los versos ocupan todos los lugares posibles. Y si a la última estrofa le aplicamos el mismo algoritmo transformador que a las anteriores, obtenemos de nuevo la ordenación de la primera. Por lo tanto, la matriz de transformación de la sextina es un cuadrado latino de orden 6. Y, por cierto, en esta ocasión la poesía podría haberse adelantado a la matemática, pues las primeras sextinas fueron compuestas en el siglo XII por el trovador occitano Arnaut Daniel, mientras que los primeros cuadrados latinos (denominados así por Euler mucho después como vimos la semana pasada) de los que hay noticia son los wafq majazi de un manuscrito árabe del siglo XIII.

Euler y los 36 oficiales

Las cuatro figuras (as, sota, caballo y rey) de una baraja se pueden colocar formando un cuadrado de 4x4 tal que cada fila y cada columna contenga todas las figuras y todos los palos, o sea, formando un cuadrado grecolatino. Como este de la izquierda:

El llamativo diseño de la portada de la semana pasada representa un cuadrado latino de orden 10, construido en 1959 por E. T. Parker. El hecho de que la prestigiosa revista Scientific American le dedicara al descubrimiento la portada de noviembre de ese año da idea de su importancia. Pero ¿por qué dar tanta relevancia a la resolución de un acertijo matemático? Vayamos por partes…

En 1779, Leonhard Euler escribió: “Una cuestión muy curiosa que ha desafiado el ingenio de muchas personas me llevó a emprender una investigación que al parecer ha abierto una nueva vía en el análisis y, en particular, en combinatoria. Es una cuestión relativa a un grupo de treinta y seis oficiales de seis rangos diferentes, tomados de seis regimientos distintos, y distribuidos en un cuadrado de tal forma que en cada fila y cada columna haya seis oficiales de diferente rango y regimiento. Pero, después de dedicar muchos esfuerzos a resolver este problema, hay que admitir que tal disposición es imposible, aunque no podemos dar una demostración rigurosa”.

Euler demostró que se podía construir un cuadrado grecolatino siempre que su orden fuese impar o múltiplo de 4 (par de clase par), y conjeturó que no existía ninguna solución cuando era par de clase impar (un múltiplo de 2 que no es múltiplo de 4). Pero en 1959 R. C. Bose y S. S. Shrikhande construyeron un cuadrado grecolatino de orden 22, el primer contraejemplo a la conjetura de Euler, y E. T. Parker, como hemos visto, uno de orden 10, el más pequeño posible de los pares de clase impar.Y un año después Parker, Bose y Shrikhande []demostraron que la conjetura de Euler es falsa para todo n ≥ 10. Por lo tanto, existen cuadrados grecolatinos de orden n para todo n mayor de 2, excepto para n = 6. Curiosamente, el problema de los 36 oficiales ejemplifica la única excepción, lo cual desconcertó al mismísimo Euler.

Y puesto que últimamente hemos hablado de ajedrez y de cuadrados mágicos, unamos ambos temas en un interesante acertijo. El rey blanco parte de su posición inicial en e1y recorre todo el tablero pasando una y solo una vez por cada casilla; numeramos las casillas según el orden en que el rey las visita y, ¡oh maravilla!, obtenemos un cuadrado mágico. ¿Cuál ha sido el recorrido del rey?

Como el problema es de difícil solución, se impone dar una pista (o dos si son pequeñas): los siete primeros números de la fila 1 son 61, 62, 63, 64, 1, 2 y 3 (evidentemente, el 1 corresponde a e1, la posición inicial del rey blanco), y los siete primeros de la fila 8 son 36, 35, 34, 33, 32, 31 y 30.

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