Nuestro comentarista habitual Manuel Amorós ha simplificado la resolución del problema de los bueyes, planteado la semana pasada, de una ingeniosa manera que sin duda habría agradado al propio Newton:

“Propondré un procedimiento algebraico con el que no hay que romperse demasiado la cabeza. Supongamos que la altura inicial de la hierba es h y la velocidad de crecimiento semanal es v. Podemos entonces establecer las siguientes proporciones.

10/3(h + 4v)---------------12 bueyes---------------------4 semanas

10(h + 9v)------------------21 bueyes---------------------9 semanas

24(h + 18v)------------------x bueyes--------------------18 semanas

De las dos primeras se obtiene la relación h = 12v

Finalmente podemos despejar x = 36

Utilizando el mismo procedimiento, creo que en el segundo caso 100 es la solución”.

En la misma línea de ahorro de energía mental, Susana Luu dice:

“La aguja larga da una vuelta por hora y la aguja corta da una vuelta cada 12 horas. Supongamos que han transcurrido 5 minutos desde las 12 en punto. La aguja larga estará en el minuto 5, pero la corta ya no está en el minuto 0, sino un poco más avanzada, por lo que no es un resultado válido. Si dejamos transcurrir otros “casi 5 minutos” (algo menos de 5 minutos), la aguja larga marcará casi las 2, pero la aguja corta estará ahora retrasada. De nuevo no es un resultado válido, pero asumiendo continuidad, la aguja corta, que pasa de adelantada al resultado válido a retrasada al resultado válido, en algún momento mostrará un resultado válido. Es fácil calcular explícitamente ese momento, pero no hace falta para saber que existe. El mismo razonamiento se aplica en todos los siguientes intervalos de 5 minutos, con la única excepción de los dos intervalos diarios en los que llegamos a las 12 en punto. Así habrá tantos momentos válidos al día como intervalos de 5 minutos hay en 24 horas menos 2. Total: 286″.

O sea, 143 cada 12 horas. Y Manuel Amorós matiza:

“Cada posición solución está formada por la posición de dos agujas, pero el hecho de que las agujas coincidan no implica que sean dos soluciones en una, se trata de UNA solución como cualquier otra. Lo que sí que ocurre es que hay otra solución que también da como resultado la misma posición de las agujas en el punto inicial, luego en efecto hay 43 soluciones”. ¿Cuál es esa otra solución?

Por su parte, Francisco Montesinos considera que el movimiento del minutero no es continuo (reloj eléctrico), sino que se mueve a saltos de un minuto (reloj mecánico), lo que introduce una interesante variante (ver comentarios de la semana pasada).

Las otras tres operaciones

Puesto que últimamente hemos resuelto (o al menos lo hemos intentado) varios problemas algebraicos, es un buen momento para recordar que, al pasar de la aritmética elemental al álgebra, las consabidas “cuatro operaciones” ya no suelen ser suficientes. Del mismo modo que una suma con el sumando repetido es una multiplicación, una multiplicación con el factor repetido es una potencia. Y del mismo modo que la suma tiene su operación contraria en la resta y la multiplicación en la división, la potenciación tiene su contraria en la radicación, o sea, la obtención de raíces cuadradas, cúbicas, etc. Ya van seis operaciones… ¿Cuál es la séptima? (Aunque no lo recuerdes, puedes deducirlo extrapolando lo anterior).

Mientras te lo piensas, aquí tienes tres problemillas relativos a la sexta operación:

¿Qué es mayor, la raíz quinta de 5 o la raíz cuadrada de 2?

¿Qué es mayor, la raíz cuarta de 4 o la raíz séptima de 7?

¿Qué es mayor, √7 + √10 o √3 + √19?

En los tres casos se trata de hallar la solución mentalmente (o, si no puedes prescindir de papel y lápiz, efectuando solo operaciones aritméticas muy sencillas).