El ascensor de Gamow

En alguno de sus maravillosos libros de matemática recreativa, comenta Martin Gardner que, así como los trenes, aviones, barcos, automóviles y otros medios de transporte aparecen en numerosos problemas, se diría que los ascensores han sido olvidados por los amantes de los acertijos lógicos. No parece ser el caso de mis sagaces lectores, que siguen dándole vueltas a un problema planteado, hace varias semanas, en la entrega Ascensores problemáticos. El problema en cuestión es el siguiente, y además de hallar el menor número de ascensores, la situación se presta a plantear otras interesantes cuestiones (ver comentarios de la semana pasada):

En un edificio de diez plantas (incluida la planta baja) hay varios ascensores, cada uno de los cuales se detiene en la planta baja, en la última y en cuatro plantas intermedias. ¿Cuál es el menor número de ascensores que permiten ir directamente desde cualquier planta a cualquier otra, sin necesidad de cambiar de ascensor?

La paradoja del ascensor

Tampoco a George Gamow, padre de la teoría del Big Bang, le resultaban indiferentes los modestos ascensores, pues en su libro Puzzles-Math, escrito en colaboración con su colega Marvin Stern y publicado en 1958, plantea una “paradoja del ascensor” basada en sus propias observaciones.

Gamow y Stern trabajaban en un mismo edificio de siete plantas, Gamow en la segunda y Stern en la sexta, y se visitaban mutuamente con bastante frecuencia. Gamow observó que, cuando iba a ver a Stern, cinco de cada seis veces el primer ascensor que se detenía en su planta iba bajando. Y cuando era Stern el que iba a ver a Gamow, cinco de cada seis veces el primer ascensor que se detenía en su planta iba subiendo.

En el caso de un solo ascensor, la cosa no tiene ningún misterio: Gamow tenía cinco plantas por encima y una por debajo, por lo que la probabilidad de que el ascensor llegara de una planta superior era 5/6. Y viceversa: Stern tenía una planta por encima y cinco por debajo, por lo que la probabilidad de que el ascensor le llegara desde una planta inferior era 5/6. Pero ¿qué pasa si hay más ascensores? ¿Y si el número de ascensores (pensemos en el hotel de Hilbert) tiende a infinito? Paradoja al acecho…

El ascensor como símil informático

En el tercer volumen de The Art of Computer Programming, el matemático estadounidense Donald E. Knuth (que también analizó la paradoja de Gamow) utiliza un ascensor como modelo de clasificación por ordenador y plantea problemas de optimización como el siguiente:

En un edificio de cinco plantas con un único ascensor con capacidad para dos personas, hay tres personas en cada planta, y todas menos una desean ir a otra planta. El ascensor parte de la planta baja (la 1) y va cargando y descargando personas hasta que todas están donde querían estar, y entonces vuelve a la planta baja. Tomando como unidad la distancia entre dos plantas contiguas, se trata de buscar el recorrido mínimo que permite llevar a cada persona a su destino (lo que equivale a minimizar la distancia recorrida, o el tiempo empleado si la velocidad del ascensor es constante). En el siguiente esquema se indica a qué planta desea ir cada una de las tres personas de cada planta (menos una de la planta 2 que no quiere cambiar):

5: 1-2-3

4: 1-3-5

3: 4-5-5

2: 1-2-4

1: 2-3-4

El ascensor bala

Y ahora, para romper la monótona verticalidad de los ascensores, un poco de pensamiento lateral:

En un futurista rascacielos de 200 pisos hay un ascensor que va directamente de la planta baja al ático, y su velocidad aumenta en 10 metros por segundo cada segundo hasta alcanzar un máximo a partir del cual, obviamente, decelera hasta detenerse arriba del todo. Un visitante que llega al rascacielos le pregunta a otro:

-¿A qué velocidad máxima irá el ascensor, al pasar por el piso 100?

-No creo que vaya a la máxima velocidad al pasar por ese piso -contesta el otro.

¿Es razonable la respuesta?

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