Matemáticas ancestrales

La impropiamente denominada ecuación de Pell (Euler se la atribuyó erróneamente), de la que nos hemos ocupado en semanas anteriores, ya fue estudiada en la antigüedad, tanto en India como en Grecia, sobre todo la de coeficiente 2, es decir, x² – 2y² = 1. Debido a su relación con la raíz cuadrada de 2, el primero de los números irracionales en ser descubierto (como diagonal de un cuadrado de lado 1), que tanto perturbó a los pitagóricos (hasta el punto de que se cuenta que intentaron ocultar el descubrimiento).

Porque si x e y son enteros positivos que satisfacen esta ecuación, entonces x/y es una buena aproximación a √2 (¿por qué?). Así, 17 y 12 son soluciones de la ecuación y 17/12 = 1,41666… Cuanto mayores son x e y, mayor es la aproximación; el matemático indio Baudhayana (que según algunos podría haber demostrado el teorema de Pitágoras antes que los griegos) descubrió la solución x = 577, y = 408, y 577/408 = 1,4142156… Recordemos que √2 = 1,4142135…, por lo que la aproximación de Baudhayana se desvía del valor real en apenas un par de millonésimas.

Y hablando de grandes matemáticos de la antigüedad, Arquímedes usó un método similar para buscar un valor aproximado de la raíz cuadrada de 3 y halló la fracción 1351/780 = 1,7320512…, un valor exacto hasta el quinto decimal, puesto que √3 = 1,7320508…

En cuanto al problema de la moneda y la cuadrícula, he aquí lo que señala nuestro comentarista habitual Luca Tanganelli:

“Nada cambia entre lanzar la moneda sobre la cuadrícula o escoger un punto al azar de un plano sobre el que se ha superpuesto una matriz de discos. En este caso no hay duda: la probabilidad es la relación entre el área del disco y la de su cuadrado circunscrito: π/4″.

Una elegante manera de convertir un problema en otro equivalente y más simple.

Y con respecto a la ampliación del problema de la cuadrícula planteada la semana pasada, la probabilidad de que la moneda caiga sobre un vértice no es la misma que la de que su circunferencia tenga 4 puntos de intersección con las líneas de la cuadrícula, pues esta probabilidad es 1. ¿Por qué? Intenta contestar antes de seguir leyendo.

Paradojas de la probabilidad y el infinito

Como hemos visto en más de una ocasión, el cálculo de probabilidades es fuente continua de paradojas, y el infinito aún más; de modo que si aplicamos el cálculo de probabilidades a un número infinito de posibilidades, las paradojas aparecen por partida doble (a este respecto, en la sección de comentarios de la semana pasada hay un interesante debate sobre la probabilidad de extraer al azar un número par del conjunto de los naturales).

La paradoja básica en relación con la extraña pareja formada por la probabilidad y el infinito es la no identidad entre imposibilidad y probabilidad 0. Un suceso imposible tiene probabilidad 0 de ocurrir (por ejemplo, sacar un 7 lanzando un dado con las caras numeradas del 1 al 6: 0/6 = 0); pero un suceso con probabilidad 0 puede no ser imposible. Por ejemplo, si trazamos sobre un plano una recta al azar, la probabilidad de que sea paralela a otra recta dada es 0, ya que hay infinitos casos posibles y solo uno favorable; pero, obviamente, no es imposible que las rectas sean paralelas.

He aquí un clásico en esta línea:

En un bosque infinito los árboles están dispuestos formando una cuadrícula, cada uno a 5 metros de los contiguos. Con la espalda apoyada en uno de los árboles, disparas horizontalmente un fusil sin apuntar, ¿cuál es la probabilidad de que la bala se incruste frontalmente en otro árbol? Se supone que no hay rozamiento ni gravedad y que la bala no se detendrá mientras no sea interceptada por un obstáculo.

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