Probabilidades engañosas

En ningún campo de las matemáticas son tan frecuentes y desconcertantes las paradojas como en el cálculo de probabilidades

El demonio de los juegos de azar (grabado anónimo).
El demonio de los juegos de azar (grabado anónimo).

La conocida expresión “la excepción que confirma la regla”, mencionada la semana pasada, no puede entenderse en sentido literal: las excepciones cuestionan o debilitan las reglas, y en el riguroso dominio de las matemáticas las invalidan. Como muchos proverbios y refranes, se trata de una expresión “poética”, que da a entender que el hecho de que percibamos algo como excepcional pone de manifiesto que lo contrario es lo más habitual, es decir, la regla.

Por lo que respecta a otras versiones de la paradoja de Russell, mi favorita es la que podríamos denominar la versión biblioteconómica:

Llamemos autorreferentes (A) a los libros en cuyas páginas se menciona el propio libro y no autorreferentes (NA) a los libros en los que no hay ninguna mención al propio libro. La mayoría son NA, pero los A tampoco son escasos, y hay ejemplos ilustres: en la segunda parte del Quijote, sin ir más lejos, se alude a la aparición en forma de libro del episodio de los molinos de viento y otras hazañas de la primera parte, y Dante cita su propia obra en el canto XXIV del Purgatorio. Y ahora intentemos hacer el catálogo completo de los libros NA. ¿Es el propio catálogo un libro A o NA? Si es NA, debe estar en el catálogo de los libros NA, y, por tanto, se menciona a sí mismo, luego es A. Pero si es A no debe estar incluido en el catálogo de los NA…

Extraterrestres y reyes sexistas

Y para paradojas, las de la probabilidad, de las que nos hemos ocupado a menudo en entregas anteriores. Casualmente (o tal vez no), Ignacio Alonso subió a la sección de comentarios de la semana pasada un acertijo de NMM que ha suscitado algunas dudas -y un largo debate- en cuanto a la forma de abordarlo:

Una flotilla de naves extraterrestres se lleva a todas las personas que hay en una casa siguiendo una estricta norma de separación de sexos, de forma que en una misma astronave solo pueden ir hombres o solo mujeres. Así que los tripulantes de la primera nave escogen a una persona al azar y luego a otra; si la segunda es del mismo sexo que la primera, escogen a una tercera, pero si es del otro sexo, la descartan y se van con una sola presa, y así sucesivamente hasta abducir a todos los presentes, que son 5 hombres y 8 mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que la última persona abducida sea una mujer?

Parece razonable pensar que cualquiera de las 13 personas de la casa tiene la misma probabilidad que cualquier otra de ser la última, y puesto que 8 de esas personas son mujeres, la probabilidad pedida es 8/13. Pero, ¿por qué tanto enunciado para una solución tan simple? ¿Hay alguna falacia en el razonamiento anterior?

Otrosí, también cabe preguntarse cuál es el número mínimo y máximo de naves necesarias para completar la abducción, y cuál es el número esperado.

Este problema recuerda al de aquel rey machista que quería reducir la proporción de mujeres en su reino y, para ello, dictó una orden según la cual todas las parejas debían dejar de procrear en cuanto tuvieran una niña. De este modo, razonó el rey, habría familias con varios hijos y a lo sumo una hija, pero ninguna con varias hijas, con lo que la proporción de varones aumentaría considerablemente. ¿Cuál fue el resultado de su medida demográfica?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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Carlo Frabetti

Es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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