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Paradojas, ambigüedades y falacias

¿Cuál es la probabilidad de que dos de los mosqueteros hubieran nacido el mismo día de la semana?

Las paradojas probabilísticas de la semana pasada han puesto de manifiesto, una vez más, cuán escurridizos pueden ser los problemas de probabilidades, incluso los aparentemente más sencillos.

Si en una familia hay dos hijos (sin especificar sexo) y el mayor es varón, la probabilidad de que el otro también sea varón es 1/2, ya que solo hay dos posibilidades (que el segundogénito sea niño o que sea niña) y son equiprobables (partiendo del supuesto de que nacen igual número de niños que de niñas). Si en vez de decir “el mayor” decimos “el más travieso”, intuitivamente parece un caso distinto, pero es equivalente, puesto que no hay ninguna razón para que tener más años sea más relevante, a estos efectos, que tener más travesuras acumuladas: en ambos casos nos dicen que el varón es un hijo concreto y no cualquiera de los dos.

Más claro parece el caso en que nos dicen que uno de los dos hijos es varón, sin especificar cuál. La probabilidad de que el otro hijo también sea varón parece 1/3, puesto que hay tres casos en los que al menos uno es varón: HH, HM y MH, y en solo uno de ellos hay dos varones (Hombre-Hombre). Pero este razonamiento es cuestionable ¿Por qué?

El acertijo de las tarjetas no ha recibido la atención que merece, pues la mayoría de los comentarios se han centrado en el de los hijos, así que la discusión sigue abierta.

En cuanto al avión que va y vuelve, si hay viento tardará más que si no lo hay, pues tener el viento a favor en el viaje de ida no compensa el tenerlo en contra en el viaje de vuelta. ¿Por qué? Porque vuela más tiempo con el viento en contra (puesto que su velocidad es menor) que con el tiempo a favor.

Rizando el rizo

Démosle otra vuelta de tuerca a la paradoja de los hijos. Supongamos que alguien dice: “Tengo dos hijos, y el que posee cierta característica es varón”, ¿cuál es la probabilidad de que el otro también lo sea? Todo el mundo tiene alguna característica, luego esta frase, puesto que no se especifica característica alguna, no aporta más información que esta otra: “Tengo dos hijos y uno de ellos es varón”. ¿Es correcto este razonamiento o entraña una falacia?

(Quede claro que, en este contexto “uno de ellos es varón” ha de entenderse en el sentido de “al menos uno de ellos es varón”. No está de más aclararlo porque, coloquialmente, si alguien dice: “Tengo dos hijos y uno de ellos es varón”, damos por supuesto que el otro no lo es).

Y, para terminar, tres acertijos que en realidad son cuatro, como los mosqueteros:

¿Cuál es la probabilidad de que dos de los cuatro mosqueteros hayan nacido el mismo día de la semana?

¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro mosqueteros hayan nacido en distintos días de la semana?

¿Cuál es la probabilidad de que Athos y Aramis celebren su cumpleaños la misma semana?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.