Probabilidades paradójicas

En un viaje de ida y vuelta por el mismo camino, como el de nuestro ciclista de la semana pasada, la distancia total recorrida es, obviamente, el doble de la distancia de ida; y para recorrer el doble de distancia al doble de velocidad (pasando de 20 a 40 km/h) se necesita el mismo tiempo, por lo que el viaje de vuelta se tendría que hacer en un tiempo cero, o lo que es lo mismo, a velocidad infinita. Es un buen ejemplo de esos problemas que, enfocándolos adecuadamente, se resuelven sin necesidad de cálculos.

Hay numerosos acertijos basados en viajes de ida y vuelta; recordemos uno de los más conocidos:

Un avión vuela en línea recta desde el aeropuerto A hasta el aeropuerto B, y luego vuelve en línea recta de B a A. El avión vuela a una velocidad constante y no hay viento. En un segundo viaje de A a B y vuelta, sopla un viento constante de A a B. El tiempo total de ida y vuelta en este segundo viaje ¿será el mismo, menor o mayor que en el primer viaje?

Pero el tema estrella de las últimas semanas, por decisión expresa de nuestras/os lectoras/es habituales, es el del cálculo de probabilidades y sus a menudo paradójicos -por contraintuitivos- resultados. Veamos algunos ejemplos:

Sencillos pero escurridizos

En el sombrero del matemago hay tres tarjetas: una con las dos caras blancas, una con las dos caras rojas y una bicolor, con una cara blanca y la otra roja. El matemago saca una de las tarjetas y la cara que te muestra es roja. ¿Cuál es la probabilidad de que al dar la vuelta a la tarjeta te muestre otra cara roja?

Tengo dos hijos, y uno es varón; ¿cuál es la probabilidad de que el otro también sea varón?

Tengo dos hijos, y el mayor es varón; ¿cuál es la probabilidad de que el otro también sea varón?

Tengo dos hijos, y el más travieso es varón; ¿cuál es la probabilidad de que el otro también sea varón?

Pero, un momento, ¿no es el mismo problema en los tres casos? ¿Qué más da quién sea el mayor o el más travieso? ¿Acaso la edad o el carácter influyen en la probabilidad?

Y sigue en pie, una semana más, el metaproblema probabilístico: ¿por qué es tan fácil hacerse un lío con el cálculo de probabilidades, incluso con problemas tan sencillos como los anteriores? Seguramente tenía razón el recientemente fallecido matemático y divulgador estadounidense Amir Aczel cuando decía que la teoría de probabilidades es la menos intuitiva de todas las ramas de las matemáticas. Sí, pero ¿por qué? En algunos aspectos parece todo lo contrario: tenemos muy claro, sin necesidad de estudiar matemáticas, que jugando a cara o cruz hay un 50 % de probabilidades de ganar, o que al lanzar un dado la probabilidad de sacar un seis es 1/6. Y sin embargo…

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.