El señor del cero

Con respecto al primer acertijo de la semana pasada, nuestro “usuario destacado” Salva Fuster comenta lo siguiente: “Para el problema de las bolas de bingo consecutivas, las 20 primeras bolas son suficientes, pues la suma desde 1 hasta 14 coincide con la suma desde 15 hasta 20, siendo 105 en ambos casos. Para hallar más casos basta con encontrar un número triangular que sea el doble de otro número triangular. Los términos que ocupen dichos números en la sucesión de números triangulares serán precisamente la cantidad de bolas totales y la de bolas del primer grupo”.

Recordemos que los números triangulares son aquellos tales que el n-simo de ellos es la suma de los n primeros números naturales:

1 = 1

1 + 2 = 3

1 + 2 +3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

…

Por lo tanto, la secuencia de los números triangulares es: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210…

Obsérvese que el 20º término (210) es el doble del 14º (105), por lo que tenemos 20 bolas y las 14 primeras suman lo mismo que las 6 últimas. Si no hubiera límite para el número de bolas del bingo, habría infinitas soluciones; pero la siguiente solución es con 119 bolas (las 84 primeras suman lo mismo que las 35 restantes), y como el bingo se juega con 75 o 90 bolas, esa solución y las siguientes quedan descartadas.

En cuanto al problema de Brahmagupta, una solución sencilla es 1, pues 1 es un cuadrado perfecto (de sí mismo) y 8 veces 1 más 1 es 9, que también es un cuadrado perfecto. Es una solución de la ecuación de Pell (x² – ny² = 1) para n = 8:

x² – 8y²= 1, donde x = 3, y = 1 es una pareja de valores evidente.

¿Hay otras soluciones para n = 8? ¿Y para n = 2? (Sin contar la solución trivial x= 1, y = 0).

El gran matemático y astrónomo indio Brahmagupta (590-670) probablemente fue el primero en utilizar de forma sistemática el cero, representado como el pequeño círculo que seguimos usando. Y, por cierto, El señor del cero (Santillana, 2016) es el título de una excelente novela juvenil de María Isabel Molina sobre la llegada del sistema de numeración posicional decimal a la Córdoba de los califas.

Por último, el problema del rebaño del Sol da lugar a un sistema de nueve ecuaciones diofánticas con ocho incógnitas (tantas como tipos de reses hay), fácil de plantear pero no de resolver sin ayuda de un ordenador. Como curiosidad, el dios Sol tiene, como mínimo, 50.389.082 cabezas de ganado. Y digo como mínimo porque hay infinitas soluciones enteras, múltiplos de esta.

La moneda y la cuadrícula

Otro “usuario destacado”, Manuel Amorós, propone el siguiente problema: se lanza una moneda sobre una cuadrícula en la que el espacio existente entre líneas paralelas coincide con el diámetro de la moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda caiga sobre un vértice de la cuadrícula?

Un interesante problema que se presta a distintas ampliaciones; por ejemplo:

Si la moneda cubre un vértice de la cuadrícula, su circunferencia corta las líneas en 4 puntos, por lo que la probabilidad pedida es la misma que la de que haya 4 puntos de intersección (¿o no?). ¿Cuál es la probabilidad de que los puntos de intersección de la circunferencia de la moneda y las líneas de la cuadrícula sean 3, 2, 1, ninguno?

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