Números triangulares y cuadrados

Hay una demostración sencilla e ingeniosa de la divergencia de la serie armónica (de la que hablábamos la semana pasada en relación con la pila de libros en voladizo), es decir, de que la suma 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5… crece indefinidamente a medida que aumentamos el número de sumandos. El crecimiento es muy lento (hacen falta septillones de sumandos para llegar a 100), pero indefinido.

Efectivamente:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8… es obviamente mayor que

1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8… = 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2…

Y puesto que la segunda serie crece indefinidamente, la primera, cuyos términos correspondientes son todos mayores o iguales, también. Esta demostración se debe al gran matemático, físico y astrónomo medieval Nicolás de Oresme, que se anticipó en dos siglos a Copérnico al afirmar que es la Tierra la que se mueve, y no el Sol y las estrellas. Lo hizo con la suficiente discreción como para librarse de la hoguera, y por eso el mérito se lo llevaron Copérnico y Galileo.

En cuanto al centésimo número triangular, o lo que es lo mismo, la suma de los 100 primeros números naturales, el pequeño Gauss la halló en pocos segundos al darse cuenta de que 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = 4 + 97… = 101, por lo que dicha suma es la de 50 parejas de números que suman 101, o sea 50 x 101 = 5050.

Los números triangulares se denominan así porque pueden representarse como conjuntos de puntos dispuestos de manera que configuren un triángulo equilátero, en el que los puntos de cada lado indican el orden en la secuencia de los triangulares (en la que se incluye el 1 como primer término). Los pitagóricos denominaban tetraktys a la representación del 10 como triángulo equilátero de puntos; una configuración que nos resulta muy familiar, pues es equivalente a la consabida disposición de los bolos en el bowling.

Obsérvese que 1 + 3 = 4 = 2², 3 + 6 = 9 = 3², 6 + 10 = 16 = 4²… ¿Será siempre un cuadrado perfecto la suma de dos números triangulares consecutivos?

Números cuadrados

Pero ¿por qué a la potencia 2 de un número la denominamos el cuadrado de dicho número? Pues por la misma razón que llamamos triangulares a los números que acabamos de ver: porque los cuadrados perfectos o números cuadrados se pueden representar como conjuntos de puntos dispuestos de manera que configuren un cuadrado. Como el 1 es un cuadrado perfecto, puesto que 1² = 1, en este caso su inclusión como primer término de la secuencia va de soi, como dicen los franceses.

Los números cuadrados son, por tanto, 1, 4, 9, 16, 25, 36…

Evidentemente, el enésimo número cuadrado es n², y n² es igual a la suma de los n primeros números impares:

2² = 1 + 3

3² = 1 + 3 + 5

4² = 1 + 3 + 5 + 7

5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

¿Por qué es así para cualquier número cuadrado?

Un cuadrado perfecto puede terminar en 0, 1, 4, 5, 6 y 9, pero no en 2, 3, 7 u 8. Esto se comprueba fácilmente sin más que elevar al cuadrado los diez dígitos, ya que el cuadrado de un número termina igual que el cuadrado de su última cifra.

Otra propiedad de los cuadrados perfectos es que siempre tienen un número impar de divisores. ¿Por qué?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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