Series, secuencias y números triangulares

Con respeto al acertijo de la polilla voraz de la semana pasada, si los cinco tomos de la enciclopedia están ordenados de izquierda a derecha, como es habitual, la polilla solo perfora la página 1 del primer tomo y la página 300 del quinto, más las 3 x 300 = 900 páginas de los tres tomos intermedios: en total, 902.

Por lo que respecta al libro de misterio, no era muy apasionante, pues me quedé en la página 19: 9 + 1 = 10, que es el quíntuplo de 2, que es lo que suman las cifras de la página siguiente, la 20. Aunque a lo mejor me quedé en la página 109. O en la 1009…

Nuestro tipógrafo de la semana pasada no pudo usar exactamente 3000 caracteres para foliar (numerar) las páginas de un libro. Para las páginas de la 1 a la 9 se necesitan 9 caracteres; de la 10 a la 99, 90 x 2 = 180; de la 100 a la 999, 900 x 3 = 2700; 2700 + 180 + 9 = 2889. Con los 111 que quedan para llegar a 3000 caracteres no es posible foliar un número entero de páginas a partir de la 1000, pues se necesitan 4 caracteres para cada página y 111 no es divisible por 4.

Supongamos que nuestro niño apilador de la semana pasada pone dos libros de 40 centímetros de altura uno encima del otro. Es evidente que el de arriba podrá sobresalir un máximo de 20 cm (en un deslizamiento recto en la dirección de la altura, sin desplazamiento lateral), pues en ese momento su centro de gravedad quedará justo encima del borde del libro de abajo. El centro de gravedad de esta pareja de libros estará en el centro geométrico de su zona de contacto, por lo que, si los apoyamos sobre un tercer libro, el del medio solo podrá sobresalir 10 cm del borde del de abajo. Y si apilamos estos tres sobre un cuarto libro, el tercero solo podrá sobresalir 6,66 cm, pues, si tomamos como unidad la altura del libro, los “voladizos” máximos son, respectivamente, 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10, 1/12… Los voladizos decrecen tan deprisa que pronto son del orden de los milímetros, por lo que parecería que el tomo superior no puede alejarse mucho de la vertical de la base; sin embargo, la serie 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8… crece muy lentamente, pero crece sin cesar (es una serie divergente, según la terminología matemática), por lo que, en teoría, el tomo superior de la pila puede alejarse tanto como queramos.

El número de libros que se podrían escribir es inconcebiblemente grande, pero finito, ya que se trataría de combinar de todas las formas posibles un número finito de caracteres. Incluso se puede calcular el número de libros escribibles, como hizo Kurd Lasswitz en su ya clásico relato La biblioteca universal.

Series divergentes

Como acabamos de ver, la serie 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10… es divergente, es decir, a medida que añadimos sumandos crece sin cesar. ¿Se puede demostrar que esto es así de una forma sencilla e ingeniosa?

En esta serie, cada término es la mitad del correspondiente término de la famosa serie armónica: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5…, denominada así porque la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es proporcional a estas fracciones sencillas.

Y los términos de la serie armónica, a su vez, son los inversos de los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5…, cuya serie es obviamente divergente, ya que la suma 1 + 2 + 3 + 4 + 5… crece cada vez más deprisa con cada nuevo número añadido. Esta serie parece trivial y sin mayor interés, pero la secuencia de sus sumas parciales (un sumando, dos sumandos, tres sumandos…) da lugar a los números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15… ¿Por qué se denominan así? ¿Y cómo hallarías el término centésimo de esta secuencia sin efectuar una suma larguísima? Se cuenta que Gauss lo hizo a los diez años.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

Puedes seguir a MATERIA en Facebook, Twitter, Instagram o suscribirte aquí a nuestra newsletter