Rectángulos de Mondrian

Para empezar, una aclaración/rectificación: la semana pasada dije que “en la secuencia 1, 11, 111, 1111, 11111… no hay ningún cuadrado perfecto”, y debería haber añadido, obviamente, “salvo el caso trivial del 1, que es el cuadrado de sí mismo”. Mis disculpas.

El problema de la página de cómic dividida en viñetas rectangulares sigue sin resolver del todo (aunque en los últimos comentarios de la entrega anterior hay algunas aproximaciones interesantes), de modo que la cuestión sigue abierta y ampliable a cuadrículas de 4x4, 5x5…. Y en relación con ello, Manuel Amorós planteó un problema similar (que entronca con algunos del mismo tipo vistos anteriormente): ¿De cuántas maneras distintas puede recubrirse un tablero de ajedrez con fichas de dominó? Y, por otra parte, el problema de las viñetas remite directamente al de los rectángulos de Mondrian, como veremos a continuación.

Tampoco la paradoja de la mosca y el manillar ha recibido una respuesta satisfactoria (ni no satisfactoria), así que plantearé la consabida metapregunta para nota: ¿Qué relación tiene la paradoja de la mosca con las famosas paradojas de Zenón sobre el movimiento? ¿Es idéntica a la paradoja de la flecha?

Rompecabezas de Mondrian

Las conocidas composiciones geométricas del pintor neerlandés Piet Mondrian —una simplificación extrema de la abstracción pictórica basada en figuras rectangulares y colores primarios— han servido de inspiración para diversos juegos y pasatiempos matemáticos. He aquí uno de los más interesantes:

Dividimos una retícula de nxn en rectángulos que contengan un número entero de celdillas y todos ellos diferentes: puede tener la misma superficie, pero no la misma forma (puede haber, por ejemplo, uno de 2x2 —huelga decir que los cuadrados también son rectángulos— y otro de 1x4, pero no uno de 1x4 y otro de 4x1). Llamamos “puntuación” de una de estas divisiones a la diferencia entre la superficie del mayor rectángulo y la del menor, y buscamos la división de menor puntuación.

Por ejemplo, en la figura adjunta vemos una retícula de 4x4 dividida en un cuadrado de 3x3, un rectángulo de 4x1 y un rectángulo de 1x3; las superficies de las tres partes son, respectivamente, 9, 4 y 3 unidades cuadradas, por lo que la puntuación de esta división es 9 – 3 = 6. ¿Se puede mejorar? Sí, se puede rebajar la puntuación a 4 (¿mediante qué división?).

Obviamente, la situación se complica a medida que aumenta el tamaño de la cuadrícula. Si, como hemos visto en semanas anteriores, no es fácil hallar el número de diferentes divisiones en rectángulos de una sencilla cuadrícula de 3x3, tampoco lo es resolver el problema de los rectángulos de Mondrian para cuadrículas cada vez mayores. De hecho, no existe (que yo sepa) una fórmula o un algoritmo que permita determinar la puntuación mínima de una cuadrícula de nxn en función de n.

Y precisamente la ausencia de tal algoritmo convierte los rectángulos de Mondrian en un fascinante rompecabezas que puede proporcionarles a mis sagaces lectoras/es largas horas de solaz y/o desesperación. De momento, os sugiero que busquéis las puntuaciones mínimas para las cuadrículas de 5x5, 6x6, 7x7 y 8x8.

A modo de pista y ejemplo, he aquí una división de la cuadrícula de 10x10 de puntuación mínima, con dos rectángulos de superficie máxima (5x4 y 10x2) y uno de superficie mínima (2x6), por lo que la puntuación es 20 – 12 = 8. ¿Es única esta división de puntuación mínima?

Y en cuanto al cuadro de Mondrian que encabeza este artículo, ¿podríamos encajarlo en una cuadrícula y considerarlo una de las divisiones que acabamos de ver? Y de no ser ello posible, ¿cómo habría que modificarlo para que encajara? Ánimo, no todos los días os brindan la posibilidad de enmendarle la plana a un gran pintor contemporáneo.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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