Polinomios de Ehrhart

El volumen del tetraedro de Reeve, del que nos ocupamos la semana pasada, es 1/3 del área de la base por la altura. La base es un triángulo isósceles rectángulo de cateto = 1, por lo que el volumen del tetraedro (en función de r) será V = 1/3 x 1/2 x r = r/6.

Para cualquier valor de r, el tetraedro de Reeve tiene el mismo número de puntos fronterizos, que son los 4 vértices, y ningún punto interior. Por lo tanto, el teorema de Pick no es ampliable al espacio tridimensional, ya que cualquier fórmula que expresara el volumen del tetraedro de Reeve en función de dichos puntos daría el mismo valor para cualquier r, lo cual es absurdo.

Igual que era tentador trasladar el teorema de Pick al espacio tridimensional, no lo era menos extrapolar las conclusiones de Pick y Reeve a cuatro dimensiones o más, y eso es lo que hizo el matemático francés Eugène Ehrhart en 1960 con los polinomios que llevan su nombre, que relacionan el volumen de un politopo (ampliación del concepto de poliedro a cualquier dimensión) con los puntos (vértices de la correspondiente retícula n-dimensional) que contiene. Los polinomios de Ehrhart se pueden aplicar al abordaje de problemas muy diversos, como el de la determinación del número de cuadrados mágicos de un orden cualquiera o el del recuento de monedas.

Supongamos que tenemos monedas de valores 1, 2 y 5 unidades monetarias, ¿de cuantas maneras distintas podemos combinarlas para obtener un total de 10n unidades (siendo n un número natural)? Dicho de otro modo, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación diofántica x + 2y + 5z = 10n para cada valor de n? (De momento lo propongo sin más a la consideración de mis sagaces lectoras/es, con la intención de dedicarle al asunto una futura entrega).

En cuanto a la serpiente de Winkler, he aquí la solución dada por el propio autor:

Para n par, una cuadrícula de nxn se cubre fácilmente con dominós (rectángulos que cubren dos casillas ortogonalmente adyacentes). En tal caso, Eva (que juega en segundo lugar) tiene una sencilla estrategia ganadora: marcar la otra mitad de los dominós marcados por Adán. Por tanto, no hay un primer movimiento bueno para Adán.

La situación cambia cuando n es impar. Al haber un número impar de casillas, no se puede cubrir la retícula con dominós, siempre sobrará una casilla. Si Adán empieza marcando una casilla sobrante, puede adoptar la estrategia del dominó seguida por Eva cuando n es par.

Pero nótese que si coloreamos las casillas con colores alternos (como en un tablero de ajedrez) en una retícula de nxn casillas con n impar, habrá una más de un color que del otro, por lo que la casilla sobrante será de ese color mayoritario. Para ganar, Adán solo tiene que empezar marcando una de esas casillas del color mayoritario.

Cuadraditos

No se puede hablar de cuadrículas y juegos de estrategia sin mencionar uno de los más sencillos (en apariencia) y populares, conocido como “el cerrado” o “los cuadritos”. Se acota en una hoja de papel cuadriculado una cuadrícula de 10x10 o mayor (si es menor el juego dura muy poco) y los jugadores, por turno, repasan con su lápiz un lado de uno de los cuadraditos de la cuadrícula. Cuando un jugador cierra un cuadradito, lo marca con su sigo distintivo (un 1, una cruz, una letra…) y juega otra vez. Gana el jugador que cierra más cuadraditos.

En el caso trivial de una cuadrícula de 2x2, es evidente que pierde el que juega en primer lugar, pues el segundo cierra los 4 cuadraditos de una tacada. ¿Y en la cuadrícula de 3x3? ¿Y en la de 4x4? ¿Y en la de nxn?

Hay dos variantes del juego: en una de ellas es obligatorio cerrar un cuadradito siempre que se pueda y en la otra no.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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