Cómo garantizar un premio en la Lotería de Reino Unido (aunque no merezca la pena)

Hace algunos meses, varios medios de comunicación, tanto publicaciones reputadas como tabloides, afirmaron que solo hace falta comprar 27 billetes para asegurarse de obtener un premio en la Lotería Nacional del Reino Unido. Dado que se acerca la Lotería de Navidad, es un buen momento para abordar las matemáticas detrás de estos titulares. La noticia se basaba en un reciente avance en combinatoria propuesto por David Cushing y David Stewart, matemáticos de la Universidad de Manchester. Su trabajo, en proceso de revisión por pares y disponible como preprint, involucra unos interesantes objetos combinatorios llamados diseños de lotería, que son colecciones de subconjuntos de los números del 1 al n. Por ejemplo, si consideramos los números {1, 2, 3}, una colección de tres subconjuntos sería {{1}, {2, 3}, {3}}. Para ser un diseño de lotería, esta colección debe cumplir otras propiedades añadidas.

En concreto, un diseño de lotería para los parámetros n, k, y t es una colección C de subconjuntos de k elementos de V = {1, 2, ..., n} en la que, si tomamos cualquier subconjunto W de k elementos de V, hay un subconjunto de C que comparte, al menos, t elementos en común con W. Si se considera una lotería donde se extraen k números ganadores de un total de n números, cada billete corresponde con uno de estos subconjuntos. Entonces, un diseño de lotería es un conjunto de tickets necesario para tener garantizados al menos t números en común con los números del billete ganador.

Naturalmente, un diseño de lotería ideal es aquel que utiliza el menor número posible de billetes. Este número mínimo se denota como L(n,k,t). Por ejemplo, L(56,6,2) es la menor cantidad de boletos que se necesitarían para asegurar al menos dos números coincidentes en una lotería donde se extraen seis números ganadores de 56. Así es cómo funciona la Lotería Nacional del Reino Unido y cómo se gana el menor premio, por lo que L(56,6,2) es precisamente la menor cantidad de boletos necesarios para garantizar algún premio en esta lotería. El resultado de Cushing y Stewart dice que este número es igual a 27.

En general, es extremadamente difícil encontrar los valores exactos de L(n,k,t), y en la mayoría de los casos se aproximan, dentro de un rango de posibles valores. Antes de este trabajo, el mejor límite inferior conocido para L(56,6,2) era 23, lo que significa que hacen falta al menos 23 boletos para garantizar la obtención de un premio. En 1998, John Bate y Gerritt Hendrik Johannes van Rees calcularon los valores exactos de L(n,6,2) para todos los n menores o iguales a 54 —por cierto, este resultado dice exactamente cuántos boletos necesitas comprar en la Lotería de Texas para garantizar una victoria, pero al parecer no tuvo eco en los medios—.

Cushing y Stewart ampliaron las técnicas utilizadas por Bate y Van Rees, calculando L(n,6,2) no solo para n = 56, sino para todos los n hasta 61. Para ello, en primer lugar, demostraron que existe un diseño de lotería de tamaño 27, utilizando técnicas de geometría finita, una rama de la geometría que trata con espacios que contienen un número finito de puntos. Su construcción utiliza el llamado plano de Fano, un espacio formado por siete puntos y siete líneas –cada una, compuesta por tres puntos–, con las siguientes propiedades: cualquier par de puntos están en una misma línea, y cualquier par de líneas se intersecan exactamente en un punto. En concreto, combinan tres planos de Fano con otros dos planos finitos. Al asociar un par único de números con cada punto, cada línea se etiqueta con un conjunto único de seis números, y las propiedades especiales de estos planos finitos garantizan que esta colección de conjuntos constituye un diseño de lotería de tamaño 27.

En segundo lugar, viene la parte difícil: para mostrar que el tamaño de este diseño es mínimo, demostraron que no existe un diseño de lotería de tamaño 26 o menos. Para ello, Cushing y Stewart utilizaron un lenguaje de programación llamado Prolog. Para escribir y ejecutar un programa en Prolog, se introduce una lista de reglas con las que trabajar y, después se hacen preguntas basadas en esas reglas. En principio, se podría especificar la definición de un diseño de lotería y preguntar si existe uno de tamaño 26. Sin embargo, con la velocidad de cómputo actual, esto podría llevar décadas o incluso siglos. Utilizando una astuta combinación de límites superiores, límites inferiores y técnicas combinatorias variadas, Cushing y Stewart redujeron el espacio de búsqueda, guiando al motor de Prolog hacia una respuesta definitiva.

Por supuesto, las dos preguntas inmediatas son “¿se puede usar esto para ganar dinero jugando a la lotería?” y “¿se puede aplicar a El Gordo?”. La respuesta a ambas preguntas, desafortunadamente, es no. Jugar estos 27 boletos no ofrece una buena estrategia para ganar dinero jugando a la lotería británica. Hacerlo cuesta 54 libras, y el único premio que garantiza –que alguno de tus números coincida en dos cifras con el premiado– es solo un nuevo boleto seleccionado al azar en el próximo sorteo, lo que no tiene prácticamente ningún valor. Cushing y Stewart comprobaron su propuesta y obtuvieron una pérdida total de las 54 libras, concluyendo que “este desafortunado incidente sirve tanto como una verificación de nuestro resultado como de que se debe esperar perder dinero al apostar”. Estas declaraciones rara vez llegan a los titulares.

Con respecto a la Lotería de Navidad española, la estructura del sorteo asegura que no puede funcionar ninguna estrategia de este tipo. A diferencia de la de Reino Unido y muchas otras, hay un sorteo aleatorio separado para cada número premiado. No existe ninguna estrategia para ganar dinero en la Lotería de Navidad. Por lo tanto, concluyo recomendando que, si se juega, se haga de manera responsable.

Richard Mandel es investigador posdoctoral en el Max Planck Institute for Software Systems (Alemania)

Edición, traducción y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

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